Question

15．如图，等边△ABC中，AB=4，AD⊥BC于点D，点F在线段AD上运动，点E在AC上，且AE=2，当EF+CF取最小值时，∠ECF=30°．

Answer 1

分析 如图，作点E关于直线AD的对称点E′，连接CE′交AD于F′．由EF+FC=FE′+FC，所以当C、E′、F共线时，EF+CF最小，由△ABC是等边三角形，AB=BC=AC=4，AE=AE′=2，推出AE′=E′B，∠ACB=60°，推出∠ACE′=∠BCE′=30°，即可解决问题．

解答 解：如图，作点E关于直线AD的对称点E′，连接CE′交AD于F′．

∵EF+FC=FE′+FC，
∴当C、E′、F共线时，EF+CF最小，
∵△ABC是等边三角形，AB=BC=AC=4，AE=AE′=2，
∴AE′=E′B，∠ACB=60°
∴∠ACE′=∠BCE′=30°，
∴此时∠ECF=30°，
故答案为30．

点评 本题考查轴对称、等边三角形的性质、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用对称解决最值问题，属于中考常考题型．