Question

13．如图，已知AB是⊙O的直径，弦ED⊥AB于点F，点C是劣弧AD上的动点（不与点A、D重合），连接BC交ED于点G．过点C作⊙O的切线与ED的延长线交于点P．
（1）求证：PC=PG；
（2）当点G是BC的中点时，求证：CG²=BF•OB；
（3）已知⊙O的半径为5，在满足（2）的条件时，点O到BC的距离为$\sqrt{5}$，求此时△CGP的面积．

Answer 1

分析 （1）连结OC，根据切线的性质得OC⊥PC，根据余角的性质得到∠B=∠OCG，等量代换得到∠PCG=∠BGF，根据对顶角相等得∠BGF=∠PGC，于是得到∠PGC=∠PCG，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；
（2）连结OG，由点G是BC的中点，根据垂径定理的推论得OG⊥BC，BG=CG，根据相似三角形的性质得到BG²=BO•BF，等量代换得到结论；
（3）连结OE，OG=OG=$\sqrt{5}$，在Rt△OBG中，利用勾股定理计算出BG=2$\sqrt{5}$，再利用BG²=BO•BF可计算出BF，从而得到OF=1，根据三角形的面积公式即可得到结论．

解答 （1）证明：连结OC，如图，
∵PC为⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠OCG+∠PCG=90°，
∵ED⊥AB，
∴∠B+∠BGF=90°，
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCG，
∴∠PCG=∠BGF，
而∠BGF=∠PGC，
∴∠PGC=∠PCG，
∴PC=PG；

（2）解：CG、BF、BO三者之间的数量关系为CG²=BO•BF．理由如下：
连结OG，如图，
∵点G是BC的中点，
∴OG⊥BC，BG=CG，
∴∠OGB=90°，
∵∠OBG=∠GBF，
∴Rt△BOG∽Rt△BGF，
∴BG：BF=BO：BG，
∴BG²=BO•BF，
∴CG²=BO•BF；

（3）解：连结OE，如图，
由（2）得OG⊥BC，
∴OG=$\sqrt{5}$，
在Rt△OBG中，OB=5，
∴BG=$\sqrt{O{B}^{2}-O{G}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
由（2）得BG²=BO•BF，
∴BF=$\frac{20}{5}$=4，
∴OF=1，
∴FG=$\sqrt{5-1}$=2，
过P作PH⊥BC于H，
∵PC=PG，
∴GH=$\frac{1}{2}$CG=$\frac{1}{2}$BG=$\sqrt{5}$，
∵∠PHG=∠BFG=90°，∠BGF=∠DGH，
∴△BFG∽△PHG，
∴$\frac{PH}{BF}=\frac{GH}{FG}$，即$\frac{PH}{4}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴PH=2$\sqrt{5}$，
∴S_△CGP=$\frac{1}{2}$CG•PH=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$×2$\sqrt{5}$=10．

点评 本题考查了垂径定理以及推论，勾股定理，三角形相似的判定与性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．