Question

已知y=

4x2+4x+1

+

x2-2x+1

，则y的最小值为

 

．

Answer 1

分析：将二次根式的被开方数配成完全平方式，得到y=|2x+1|+|x-1|，分段讨论x的值，①当x≤-

1

2

时，②当-

1

2

＜x＜1时，③当x≥1时，去掉绝对值符号，得出y的范围，综合以上几种情况可得出y的最小值．

解答：解：y=

(2x+1)2

+

(x-1)2

=|2x+1|+|x-1|，
①当x≤-

1

2

时，y=-（2x+1）-（x-1）=-3x，
此时y≥

3

2

；
②当-

1

2

＜x＜1时，y=2x+1-（x-1）=x+2，
此时

3

2

＜y＜3；
③当x≥1时，y=2x+1+x-1=3x，
此时y≥3；
综上可得：y≥

3

2

，当且仅当x=-

1

2

时，y取最小值

3

2

．
故答案为：

3

2

．

点评：本题考查了函数的最值问题，解答本题的关键是将被开方数配成完全平方的形式去掉根号，另外在去掉绝对值时讨论x的范围一定要按顺序，避免遗漏．