Question

1．等腰直角三角形△ABC的斜边BC与直角△CDE的直角边CD在同一直线上，∠A=∠EDC=90°，BC=DE=4，CE=5，将△ABC沿着BD向右平移，当点A落在CE上时，平移距离为$\frac{7}{2}$．

Answer 1

分析 作AH∥BD，分别交CE、DE于F、H，作AM⊥BC于M，CN⊥AH于N，如图，先利用勾股定理计算出CD=3，再利用等腰直角三角形的性质得AM=$\frac{1}{2}$BC=2，∠ACB=45°，接着判定四边形CDHN为矩形得到DH=CN=AM=2，NH=CD=3，于是可证明FH为△ECD的中位线，所以FH=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{3}{2}$，则NF=NH-FH=$\frac{3}{2}$，然后判断△ACN为等腰直角三角形，得到AN=CN=2，所以AF=AN+NF=$\frac{7}{2}$．

解答 解：作AH∥BD，分别交CE、DE于F、H，作AM⊥BC于M，CN⊥AH于N，如图，
在Rt△CDE中，
∵CE=5，DE=4，
∴CD=$\sqrt{C{E}^{2}-D{E}^{2}}$=3，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AM=$\frac{1}{2}$BC=2，∠ACB=45°，
∵CN⊥AH，∠D=90°，
∴四边形CDHN为矩形，
∴DH=CN=AM=2，NH=CD=3，
∵DE=4，
∴点H为DE的中点，
∴FH为△ECD的中位线，
∴FH=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{3}{2}$，
∴NF=NH-FH=$\frac{3}{2}$，
∵∠ACB=45°，AN∥BC，
∴∠CAN=45°，
∴△ACN为等腰直角三角形，
∴AN=CN=2，
∴AF=AN+NF=2+$\frac{3}{2}$=$\frac{7}{2}$，
∴点A落在CE上时，平移距离为$\frac{7}{2}$．
故答案为$\frac{7}{2}$．

点评 本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同． 新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．