Question

我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如关于线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题．请你利用重心的概念完成如下问题：
（1）若O是△ABC的重心（如图1），连结AO并延长交BC于D，证明：；
（2）若AD是△ABC的一条中线（如图2），O是AD上一点，且满足，试判断O是△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
（3）若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与△ABC的顶点重合）（如图3），S_{四边形BCHG}，S_△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，试探究的最大值．

Answer 1

（1）证明：如答图1所示，连接CO并延长，交AB于点E．

∵点O是△ABC的重心，∴CE是中线，点E是AB的中点．
∴DE是中位线，
∴DE∥AC，且DE=AC．
∵DE∥AC，
∴△AOC∽△DOE，
∴=2，
∵AD=AO+OD，
∴．

（2）答：点O是△ABC的重心．
证明：如答图2，作△ABC的中线CE，与AD交于点Q，则点Q为△ABC的重心．

由（1）可知，=，
而，
∴点Q与点O重合（是同一个点），
∴点O是△ABC的重心．

（3）解：如答图3所示，连接DG．

设S_△GOD=S，由（1）知，即OA=2OD，
∴S_△AOG=2S，S_△AGD=S_△GOD+S_△AGO=3S．
为简便起见，不妨设AG=1，BG=x，则S_△BGD=3xS．
∴S_△ABD=S_△AGD+S_△BGD=3S+3xS=（3x+3）S，
∴S_△ABC=2S_△ABD=（6x+6）S．
设OH=k•OG，由S_△AGO=2S，得S_△AOH=2kS，
∴S_△AGH=S_△AGO+S_△AOH=（2k+2）S．
∴S_{四边形BCHG}=S_△ABC-S_△AGH=（6x+6）S-（2k+2）S=（6x-2k+4）S．
∴== ①
如答图3，过点O作OF∥BC交AC于点F，过点G作GE∥BC交AC于点E，则OF∥GE．
∵OF∥BC，
∴，
∴OF=CD=BC；
∵GE∥BC，
∴，
∴GE=；
∴=，
∴．
∵OF∥GE，
∴，
∴=，
∴k=，代入①式得：
===-x²+x+1=-（x-）²+，
∴当x=时，有最大值，最大值为．
分析：（1）如答图1，作出中位线DE，证明△AOC∽△DOE，可以证明结论；
（2）如答图2，作△ABC的中线CE，与AD交于点Q，则点Q为△ABC的重心．由（1）可知，=，而已知，故点O与点Q重合，即点O为△ABC的重心；
（3）如答图3，利用图形的面积关系，以及相似线段间的比例关系，求出的表达式，这是一个二次函数，利用二次函数的性质求出其最大值．
点评：本题是几何综合题，以三角形的重心为背景，考查了重心的概念、性质以及应用，考查了相似三角形、中位线、图形面积、二次函数最值等知识点．试题的难点在于第（3）问，如何求出的关系式是解题的关键；另外，第（3）问尚有多种不同的解法，同学们可以深入探究．