如图.抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A．(1)求b.c．(2)如图1.在第一象限内的抛物线上是否存在点D.使得三角形BCD的面积最大?若存在.求出D点坐标.求出三角形BCD的面积最大值,若不存在.请说明理由．(3)如图2.抛物线的对称轴与抛物线交于点P.与直线BC相交于点M.连接PB．问在直线BC下方的抛物线上是否存在否存在点Q.使得△QMB与△PMB的面积相等?若存在.求出点Q� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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3．如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0）．
（1）求b、c．
（2）如图1，在第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得三角形BCD的面积最大？若存在，求出D点坐标，求出三角形BCD的面积最大值；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，抛物线的对称轴与抛物线交于点P，与直线BC相交于点M，连接PB．问在直线BC下方的抛物线上是否存在否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）把A（-1，0）、B（3，0）两点代入y=-x²+bx+c，即可求出抛物线的解析式；
（2）设D点坐标为（t，-t²+2t+3），过点D作DH⊥x轴于H，根据S_△BCD=S_梯形OCDH+S_△BDH-S_△BOC═-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{9}{2}$t，再利用配方法即可求出D点坐标及△BCD面积的最大值；
（3）设PM与x轴交于点E，求出过点E与BC平行的直线EQ解析式为y=-x+1，解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$，即可得出点Q的坐标．

解答解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1+b+c=0}\\{-9+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3；

（2）如图1，设D点坐标为（t，-t²+2t+3），过点D作DH⊥x轴于H，
则S_△BCD=S_梯形OCDH+S_△BDH-S_△BOC
=$\frac{1}{2}$（-t²+2t+3+3）t+$\frac{1}{2}$（3-t）（-t²+2t+3）-$\frac{1}{2}$×3×3
=-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{9}{2}$t
=-$\frac{3}{2}$（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
∵-$\frac{3}{2}$＜0，
∴当t=$\frac{3}{2}$时，D点坐标是（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$），△BCD面积的最大值是$\frac{27}{8}$；

（3）如图2，设PM与x轴交于点E，
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴P点的坐标为（1，4），E点的坐标为（1，0）．
∵B（3，0），C（0，3），
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
∴当x=1时，y=2，
∴M点的坐标为（1，2），
∴PM=ME=2，BM为△BPE的中线，
∴S_△PMB=S_△EMB．
过E作BC的平行线，交抛物线于点Q，则S_△QMB=S_△EMB，
∴S_△QMB=S_△PMB．
∵E（1，0），直线BC的解析式为y=-x+3，EQ∥BC，
∴直线EQ的解析式为y=-x+1．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3-\sqrt{17}}{2}}\\{y=\frac{\sqrt{17}-1}{2}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3+\sqrt{17}}{2}}\\{y=-\frac{1+\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$，
∴点Q的坐标为Q₁（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{\sqrt{17}-1}{2}$），Q₂（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，-$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$），
∴在直线BC下方的抛物线上存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等，此时点Q的坐标为Q₁（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{\sqrt{17}-1}{2}$），Q₂（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，-$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$）．

点评此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的图象与性质，三角形、梯形的面积，解析式平移的规律，直线与抛物线的交点坐标求法，难度适中．解题的关键是：（1）利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）设D点坐标为（t，-t²+2t+3），利用割补法求出S_△BCD关于t的二次函数解析式；（3）找到Q的位置，求出直线EQ的解析式．

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