Question

如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E，连接EC、CD．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若OA=10cm，AB=16cm，求tan∠CED的值．

Answer 1

分析：（1）连接OC，根据OA=OB，CA=CB，可以证明OC⊥AB，利用切线的判定定理，经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，得到AB是⊙O的切线；
（2）证得△BCD∽△BEC后利用相似三角形的性质求得BD的长，然后利用正切的定义表示出∠CED的正切值即可．

解答：解：（1）证明：如图，连接OC．
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB．
∴AB是⊙O的切线；

（2）∵OB=OA=10，BC=AC=8，
∴OC=OD=6，
∴BD=BO-OD=10-6=4，
易证，∠DCB=∠E，
∵∠B=∠B，
∴△BCD∽△BEC，
∴

DC

EC

=

BD

BC

=

4

8

=

1

2

．
∴tan∠CED=

DC

EC

=

1

2

，

点评：本题考查切线的判定及性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，包括切线的判定，线段等量关系的证明及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．