Question

已知点E是正方形ABCD外的一点，EA=ED，线段BE与对角线AC相交于点F，
（1）如图1，当BF=EF时，线段AF与DE之间有怎样的数量关系？并证明；
（2）如图2，当△EAD为等边三角形时，写出线段AF、BF、EF之间的一个数量关系，并证明．

Answer 1

分析：（1）要求AF与DE之间有怎样的数量关系，而题目涉及在正方形中，连接正方形的对角线是常用的方法，连接对角线BD是关键，得到四边形ODEA是正方形，利用三角形中位线的性质得到结论．
（2）这个关系要用第一问类似的方法得出，辅助线不可少，制造全等三角形是难点．

解答：解：（1）AF=

1

2

DE，
证明如下：连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BO=DO，
∵BF=EF，
∴OF=

1

2

DE，OF∥DE．
∵BD⊥AC，
∴∠EDO=∠AOB=90°，

∵∠ODA=∠OAD=

1

2

×90°=45°，EA=ED，
∴∠EAD=∠EDA=45°，
∴∠OAD=∠AED=∠AOD=90°，
∴四边形AODE是正方形．
∴OA=DE，
∴OF=

1

2

AO，
∴AF=

1

2

AO=

1

2

DE．

（2）AF+BF=EF、AF²+EF²=2BF²等（只要其中一个），
AF+BF=EF的证明方法一：
连接BD交AC于O，在FE上截取FG=BF，连接DG．
与第（1）同理可证∠GDA=45°，
∵四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形，
∴∠GDE=60°-45°=15°．
∵AB=AD=AE，∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°，
∴∠ABE=∠AEB=

180°-150°

2

=15°，
∴∠ABF=∠GDE．
又∵∠DEG=∠DEA-∠AEB=60°-15°=45°=∠BAC，DE=AD=AB，

∴△ABF≌△EDG
∴EG=AF，
∴AF+BF=EG+FG=EF．
AF+BF=EF的证明方法二（简略）：
在FE上截取FG=AF，连接AG．证得△AFG为等边三角形．
证得△ABF≌△AEG．
证得AF+BF=EF．
AF²+EF²=2BF²的证明方法（简略）：
作BG⊥BF，且使BG=BF，连接CG、FG，证得△BGC≌△BFA．
证得FC=FE，FG=

2

BF，
利用Rt△FCG中，得出AF²+EF²=2BF²．

点评：本题是一道考查正方形性质的几何题，考查了正方形的性质，三角形中位线的运用，全等三角形的运用，第二问的辅助线在第一问的基础上进行．