小明是一位刻苦学习.勤于思考.勇于创新的同学.一天他在解方程x2=-1时.突发奇想:x2=-1在实数范围内无解.如果存在一个数i.使i2=-1.那么若x2=-1.则x=±i.从而x=±i是方程x2=-1的两个根．据此可知:①i可以运算.例如:i3=i2•i=-1×i=-i.则i2011=-i．.②方程x2-2x+2=0的两根为 1±i．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

11、小明是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学，一天他在解方程x²=-1时，突发奇想：x²=-1在实数范围内无解，如果存在一个数i，使i²=-1，那么若x²=-1，则x=±i，从而x=±i是方程x²=-1的两个根．据此可知：①i可以运算，例如：i³=i²•i=-1×i=-i，则i²⁰¹¹=

-i．

，②方程x²-2x+2=0的两根为

1±i．

（根用i表示）

分析：（1）根据题中规律可知i¹=1，i²=-1，i³=-i，i⁴=1，可以看出4个一次循环，可以此求解．
（2）把方程x²-2x+2=0变形为（x-1）²=-1，根据题目规律和平方根的定义可求解．

解答：解：（1）i²⁰¹¹=i^502×4+3=-i．
（2）x²-2x+2=0
（x-1）²=-1
x-1=±i
x=1+i或x=1-i．
故答案为：-i；1±i．

点评：本题考查了用配方法解一元二次方程以及找出题目中的规律，从而求得解．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：初中数学 来源： 题型：

20、小明是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学，一天他在解方程x²=-1时，突发奇想：x²=-1在实数范围内无解，如果存在一个数i，使i²=-1，那么x²=i²，则x=±i，从而x=±i是方程x²=-1的两个根．
（1）据此可知：i³=i²•i=-i，i⁴=

，i⁴²=

-1

；
（2）解方程：x²-2x+2=0（根用i表示）．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

30、小明是一位刻苦学习，勤于思考的同学，一天，他在解方程时突然产生了这样的想法，x²=-1，这个方程在实数范围内无解，如果存在一个数i²=-1，那么方程x²=-1可以变成x²=i²，则x=±i，从而x=±i是方程x²=-1的两个解，小明还发现i具有以下性质：
i¹=i，i²=-1，i³=i²•i=-i；i⁴=（i²）²=（-1）²=1，i⁵=i⁴•i=i，i⁶=（i²）³=（-1）³=-1，i⁷=i⁶•i=-i，i⁸=（i⁴）²=1，…
请你观察上述等式，根据你发现的规律填空：i⁴ⁿ⁺¹=

，i⁴ⁿ⁺²=

-1

，i⁴ⁿ⁺³=

-i

，i⁴ⁿ⁺⁴=

（n为自然数）．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

8、小明是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创造的同学．一天，他在解方程时，突然产生了这样的想法，x²+1=0这个方程虽然在实数范围内无解，但是，假如存在这样一个数i，使i²=-1，那么方程x²+1=0可以变为x²=i²，则x=±i是方程x²+1=0两个根．小明还发现i具有如下性质：
i¹=i；i²=-1；i³=i²×I=（-1）×i=-i；i⁴=（i²）²=（-1）²=1；i⁵=i⁴×i=i；i⁶=（i²）³=（-1）³=-1；i⁷=i⁶×i=-i；i⁸=（i⁴）²=1…，请你观察上述各式，根据你发现的规律填空：i⁴ⁿ⁺¹=

，i⁴ⁿ⁺²=

-1

，i⁴ⁿ⁺³=

-i

（n为自然数）．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

小明是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学。一天，他在解方程时，突然产生了这样的想法：