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12.在矩形ABCD中,AD=4,对角线AC与BD相交于点O,过点A作AE⊥BD,垂足为E,EB=$\frac{1}{2}$OB,求AE的长.

分析 由在矩形ABCD中,AE⊥BD于E,易证得△OAB是等边三角形,继而求得∠BAE的度数,由△OAB是等边三角形,求出∠ADE的度数,又由AD=4,即可求得AE的长.

解答 解:在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,
∴AC=BD,OA=$\frac{1}{2}$AC,OB=$\frac{1}{2}$BD,
∴OA=OB,
∵EB=$\frac{1}{2}$OB,AE⊥BD,
∴OA=AB  即OA=AB=OB,
∴△ABO是等边三角形.
即:∠ABO=60°
在矩形ABCD中,∠BAD=90°,
∴∠ADO=30°,
在Rt△AED中,∠AED=90°,∠ADO=30°,
∴AE=$\frac{1}{2}$AD=2.

点评 此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质.此题难度不大,注意掌握数形结合思想的应用.

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