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20.如图,抛物线y=-$\frac{1}{2}$x2+x+4与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,顶点为点P,动点M,N从点O同时出发,都以每秒1个单位长度的速度分别在线段OB,OC上向点B,C方向运动,过点M作x轴的垂线交BC于点F,交抛物线于点H.
(1)当四边形OMHN为矩形时,求点H的坐标;
(2)是否存在这样的点F,使△PFB为直角三角形?若存在,求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.

分析 (1)表示出ON、MH,运用ON=MH,列方程求解即可,
(2)存在,先求出BC的解析式,根据互相垂直的直线一次项系数积等于-1,直线经过点P,待定系数法求出直线PF的解析式,求直线BC与直线PF的交点坐标即可.

解答 解:(1)当y=0时,-$\frac{1}{2}$x2+x+4=0,解,得x=-2,4,
∴点B的坐标为(4,0)
当x=0时,y=4,所以点C的坐标为(0,4)
∴直线BC的解析式为y=-x+4,
根据题意,OM=ON=t,MH=-$\frac{1}{2}$t2+t+4,
∵ON∥MH,
∴当ON=MH时,四边形OMHN为矩形,
即:t=-$\frac{1}{2}$t2+t+4,
解,得t=$2\sqrt{2}$,或t=$-2\sqrt{2}$(不合题意,舍去),
把t=$2\sqrt{2}$代入y=-$\frac{1}{2}$t2+t+4得,y=2$\sqrt{2}$,
∴H($2\sqrt{2},2\sqrt{2}$),
(2)存在,
当PF⊥BC时,
∵直线BC的解析式为y=-x+4,
∴设PF的解析式为y=x+b,又点P(1,$\frac{9}{2}$)代入求得,b=$\frac{7}{2}$,
∴根据题意列方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=x+\frac{7}{2}}\end{array}\right.$,
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{4}}\\{y=\frac{15}{4}}\end{array}\right.$,
∴点F($\frac{1}{4},\frac{15}{4}$),
当PF⊥BP时,
∵点P(1,$\frac{9}{2}$),B(4,0),
∴直线BP的解析式为:y=$-\frac{3}{2}x+6$,
∴设PF的解析式为y=$\frac{2}{3}$x+b,又点P(1,$\frac{9}{2}$)代入求得b=$\frac{23}{6}$,
∴根据题意列方程组:$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=\frac{2}{3}x+\frac{23}{6}}\end{array}\right.$,
解,得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{10}}\\{y=\frac{39}{10}}\end{array}\right.$,
∴点F($\frac{1}{10}$,$\frac{39}{10}$),
综上所述,△PFB为直角三角形时,点F的坐标为($\frac{1}{4},\frac{15}{4}$)或($\frac{1}{10}$,$\frac{39}{10}$).

点评 本题考查了二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、两点间的距离公式以及矩形和直角三角形,解题的关键:(1)待定系数法求函数解析式;(2)两直线互相垂直一次项系数积为-1.

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