Question

【题目】如图，已知ABCD中，AE平分∠BAD交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且AD＝DF．过点D作DC的垂线，分别交AE、AB于点M、N．

（1）若M为AG中点，且DM＝2，求DE的长；

（2）求证：AB＝CF+DM．

Answer 1

【答案】（1）DE＝；（2）证明见解析．

【解析】

（1）由ABCD中，AE平分∠BAD交DC于E，DF⊥BC，易证得∠DMG=∠DGM，求得DG=DM=2，由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半，求得AG的长，继而求得DE的长；
（2）此题有多种解法，通过构造不同的直角三角形，找到相应的全等三角形，在根据对应边和对应角相等，即可推出结论．

解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB∥CD，

∴∠BAE＝∠DEA，

∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE

∴∠DAE＝∠DEA，

∴DE＝AD，

∵DF⊥BC，

∴DF⊥AD，

∵M为AG中点，

∴AG＝2DM＝4，

∵DN⊥CD，

∴∠ADM+∠MDG＝∠MDG+∠EDG，

∴∠ADM＝∠EDG，

∴∠DAE+∠ADM＝∠DEA+∠EDG，

即∠DMG＝∠DGM，

∴DG＝DM＝2，

在Rt△ADG中，DE＝AD＝＝；

（2）证法一：过点A作AD的垂线交DN的延长线于点H，

在△ADH和△FDC中，

，

∴△DAH≌△DFC（ASA），

∴AH＝FC，DH＝DC，

∵DF⊥AD，

∴AH∥DF，

∴∠HAM＝∠DGM，

∵∠AMH＝∠DMG，∠DMG＝∠DGM，

∴∠HAM＝∠HMA，

∴AH＝MH，

∴MH＝CF，

∴AB＝CD＝DH＝MH+DM＝CF+DM．

证法二：延长MD到点P，使DP＝CF，连接PE

由（1）知AD＝DE，

又AD＝DF，

∴DF＝DE，

∠DFC＝∠EDP＝90°

∴Rt△DCF≌Rt△EPD，

∴DC＝EP，∠CDF＝∠PED

∴PE∥DF，

∴∠PEA＝∠DGA，

由（1）得∠DGA＝∠DME，

∴∠PEA＝∠DME

∴PM＝PE，

而PM＝DM+DP＝DM+CF，PE＝CD＝AB，

∴AB＝DM+FC．

证法三：过点A作AH⊥CB于点H，

易证△ABH≌△DCF，

从而证得四边形AHFD为正方形．

把△ADG绕点A顺时针旋转90°，

得△AHP，∠AHP＝∠AHB＝90°

∴P、H、B三点共线

∵AE平分∠BAD，

∴∠1＝∠2，而∠2＝∠HAP，

∴∠HAB+∠1＝∠HAB+∠HAP，即∠HAG＝∠PAB

∵AH∥DF，

∴∠HAG＝∠DGA

而∠DGA＝∠APB

∴∠PAB＝∠APB

∴AB＝PB

∵PB＝PH+HB＝DG+FC

∴AB＝DM+FC．

证法四：在DC上截取DP＝DM，连接PF，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD

∴∠BAE＝∠DEA，

而∠BAE＝∠DAE，

∴∠DAE＝∠DEADA＝DE，

又∠ADF＝∠MDE＝90°，

∴∠ADM＝∠EDG，

∴△ADM≌△EDG，

∴DM＝DG，

∴DG＝DP，

又AD＝DF，

∴DF＝DE，而∠PDF＝∠FDP，

∴△PDF≌△GDE，

∴∠DPF＝∠DGE，∠DFP＝∠DEG，

∴∠CPF＝∠DGM，

∵∠DFP+∠CFP＝∠DEG+∠DMG＝90°，

∴∠CFP＝∠DMG，

而∠DMG＝∠DGM，

∴∠CFP＝∠CPFCF＝CP，

而CD＝DP+CP＝DM+CF，AB＝CD，

∴AB＝DM+CF．