Question

9．如图所示，已知△ABC中AD，BE分别是BC，AC的高，且BD=AD．求证：
①DF=DC；
②BC=AD+DF．

Answer 1

分析 （1）由∠1=∠DAC、∠BDF=∠ADC，BD=AD得△BDF≌△ADC即可得出结论．
（2）由BC=BD+CD，BD=AD，DF=DC即可证明．

解答 证明：（1）∵AD⊥BC，BE⊥AC垂足分别为D，E．
∴∠ADB=∠ADC=∠AEF=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠DAC+∠AFE=90°，∠2=∠AFE，
∴∠1=∠DAC，
在△BDF和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠DAC}\\{∠BDF=∠ADC}\\{BD=AD}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△ADC，
∴DF=DC
（2）∵DF=DC，BD=AD，
∴BC=BD+CD=AD+DF，
即BC=AD+DF．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等角的余角相等，正确寻找全等三角形是解决问题的关键．