Question

如图，抛物线y=a（x-1）²+c与x轴交于点A（1-

3

，0）和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P′（1，3）处．过点P′作x轴的平行线交抛物线于C、D两点，则翻折后的图案的高与宽的比为

 

（结果可保留根号）．

Answer 1

考点：二次函数图象与几何变换

专题：几何变换

分析：先根据关于x轴对称的点的坐标特征得到P点坐标为（1，-3），再利用待定系数法确定抛物线解析式为y=（x-1）²-3；把y=3代入解得x₁=1-

6

，x₂=1+

6

，得到C点坐标为（1-

6

，3），D点坐标为（1+

6

，3），则CD=2

6

，而点P′到x轴的距离为3，然后计算3与2

6

的比即可．

解答：解：∵抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P′（1，3）处，
∴P点坐标为（1，-3），
设抛物线解析式为y=a（x-1）²-3，
把A（1-

3

，0）代入得a•（1-

3

-1）²+3=0，解得a=1，
∴抛物线解析式为y=（x-1）²-3，
把y=3代入得（x-1）²-3=3，解得x₁=1-

6

，x₂=1+

6

，
∴C点坐标为（1-

6

，3），D点坐标为（1+

6

，3），
∴CD=1+

6

-1+

6

=2

6

，
而点P′到x轴的距离为3，
∴翻折后的图案的高与宽的比=

3

2 6

=

6

4

．
故答案为

6

4

．

点评：本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．