Question

18．如图，四边形OABC是边长为2的正方形，点P为OA边上任意一点（与点O，A不重合），连接CP，过点P作PM⊥CP交AB于点D，且PM=CP，过点M作MN∥OA，交BO于点N，连接ND，BM，设OP=t．
（1）求点M的坐标（用含t的代数式表示）
（2）试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变？请说明理由．当t为何值时，四边形BNDM的面积最小．
（3）在（2）的结论下，若有一条以直线AB为对称轴，过C，M两点的抛物线，请思考，是否存在直线AB上一动点E，抛物线上一动点F，使得以点P，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足要求的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1中，过M作MG⊥OA于G，只要证明Rt△OCP≌Rt△GPM，推出MG=OP=t，PG=OC=2，由此即可解决问题．
（2）根据两点间距离公式，求出MN的长即可解决问题．
（3）画出图象，由图象可知当点F的横坐标为0或4或2，由此即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，过M作MG⊥OA于G，

∵CP⊥PM，
∴∠CPO+∠MPG=90°，
又∵CO⊥OA，
∴∠CPO+∠OCP=90°，
∴∠MPG=∠OCP，
在△OCP和△GPM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OCP=∠MPG}\\{∠POC=∠MGP=90°}\\{PC=PM}\end{array}\right.$，
∴△OCP≌△GPM，
∴MG=OP=t，PG=OC=2
∴M（2+t，t）．

（2）∵四边形OABC是边长为2的正方形，
∴B（2，2），
∴直线OB的解析式为y=x，
又∵MN∥AO，
∴N（t，t），
∴MN=2，
∴MN的长度不随P的位置的变化而改变，
∵AB∥MG
∴△PAD∽△PMG，
∴$\frac{PA}{PG}$=$\frac{PD}{PM}$，
∴$\frac{2-t}{2}$=$\frac{AD}{t}$，
∴AD=$\frac{-{t}^{2}+2t}{2}$，
∴BD=$\frac{{t}^{2}-2t+4}{2}$，
∵BA⊥MN，
∴s=$\frac{1}{2}$•BD•MN=$\frac{1}{2}$•$\frac{{t}^{2}-2t+4}{2}$•2=$\frac{1}{2}$（t-1）²+$\frac{3}{2}$，
∵$\frac{1}{2}$＜0，
∴当t=1时，四边形BNDM的面积最小．

（3）如图2中，

由图象可知当点F的横坐标为0或4或2，
∴点F的坐标为（0，2）或（4，2）或（2，$\frac{2}{3}$）．

点评 本题考查二次函数综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．