Question

24、综合应用：要测量不能直接到达的池塘两岸A、B两点的距离，有的同学采用了这样的方法：
（1）如图，要测量水池的宽AB，过A作线段AC⊥AB，再由点C观测，在BA延长线上找一点B₁，使∠ACB₁=∠ACB，这时只要量出AB₁的长度，就知道AB的长了．这种做法对吗？并请说明理由．

（2）你一定还有更好的测量AB的方法，请说出一种，画出图形，并说明你的做法是正确的．

Answer 1

分析：（1）由∠ACB₁=∠ACB，AC⊥AB，AC=AC，由角边角定理可证明△AB₁C≌△ABC，即可得AB=AB₁，所以这种做法对；
（2）要测量池塘A、B两点间的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，
再过D点作出BF的垂线DG，并在DG上找一点E，使A、C、E在一条直线上，测量DE的长就是AB的长；
由角边角定理可得△ABC≌△EDC，所以AB=DE，所以可证明做法正确．

解答：解：（1）做法正确．
∵AC⊥AB
∴∠CAB₁=∠CAB
∵∠ACB₁=∠ACB，AC=AC
∴由角角边定理可得△AB₁C≌△ABC
∴AB₁=AB；

（2）要测量池塘A、B两点间的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，
再过D点作出BF的垂线DG，并在DG上找一点E，使A、C、E在一条直线上，
这时，测量DE的长就是AB的长，图形如下图所示：

证明：∵AB⊥BC，CD⊥DE
∴∠B=∠CDE=90°
又∵BC=CD，∠ACB=∠DCE
∴△ABC≌△EDC（ASA）
所以AB=DE．

点评：本题考查全等三角形的应用．在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解．