Question

【题目】如图，在ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，BD是对角线．

（1）求证：△ADE≌△CBF；

（2）若∠ADB是直角，请证明四边形BEDF是菱形．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)见解析.

【解析】(1)由平行四边形性质得AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，再由E、F分别为边AB、CD的中点，证AE=CF，根据SAS证△ADE≌△CBF.

（2）由DF和BE平行且相等，证四边形EBFD是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，可得BF=DF，所以四边形BEDF是菱形．

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，

∵E、F分别为边AB、CD的中点，

∴AE= AB，CF= CD，

∴AE=CF，

在△ADE和△CBF中，

∵ ，

∴△ADE≌△CBF（SAS）．

(2）证明：∵E、F分别为边AB、CD的中点，

∴DF= DC，BE=AB，

又∵在ABCD中，AB∥CD，AB=CD，

∴DF∥BE，DF=BE，

∴四边形DEBF为平行四边形，

∵DB⊥BC，

∴∠DBC=90°，

∴△DBC为直角三角形，

又∵F为边DC的中点，

∴BF= DC=DF，

又∵四边形DEBF为平行四边形，

∴四边形DEBF是菱形．