Question

高科技发展公司投资500万元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品，并投入资金1500万元作为固定投资，已知生产每件产品的成本是40元．在销售过程中发现：当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件，设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利（年获利=年销售额一生产成本—投资）为z（万元）．
（1）试写出y与x之间的函数关系式（不写x的取值范围）；
（2）试写出z与x之间的函数关系式（不写x的取值范围）；
（3）公司计划，在第一年按年获利最大确定销售单价进行销售；到第二年年底获利不低于1130万元，请借助函数的大致图象说明：第二年的销售单价x（元）应确定在什么范围内？

Answer 1

（1）y=-x+30；（2）z=-x²+34x-3200；（3）第二年的销售单价应确定在不低于120元且不高于220元的范围内.

试题分析：（1）依题意当销售单价定为x元时，年销售量减少（x-100），则易求y与x之间的函数关系式．
（2）由题意易得Z与x之间的函数关系．
（3）根据z=（30-x）（x-40）-310=-x²+34x-1510=1130进而得出当120≤x≤220时，z≥1130画出图象得出即可．
试题解析：（1）依题意知，当销售单价定为x元时，年销售量减少 (x-100)万件.
∴y=20-(x-100)=-x+30.
即y与x之间的函数关系式是:y=-x+30.
（2）由题意，得：z=(30-)(x-40)-500-1500=-x²+34x-3200.
即z与x之间的函数关系式是:z=-x²+34x-3200.
(3)∵z=-x²+34x-3200=-(x-170)²-310.
∴当x=170时，z取最大值，最大值为-310.
也就是说：当销售单价定为170元时，年获利最大，并且到第一年底公司还差310万元就可以收回全部投资.
第二年的销售单价定为x元时，则年获利为：
z=(30-x)(x-40)-310
=-x²+34x-1510.
当z=1130时，即1130=-+34-1510.
整理，得x²-340x+26400=0.
解得x₁=120,x₂=220.
函数z=-x²+34x-1510的图象大致如图所示：

由图象可以看出：当120≤x≤220时，z≥1130.
所以第二年的销售单价应确定在不低于120元且不高于220元的范围内.
考点:二次函数的应用.