Question

如图，已知圆O₁与圆O₂相交于A，B两点，直线O₁A交圆O₁于C，交圆O₂于D，连接CB并延长交圆O₂于E，AF切圆O₁于A，交CE于F．
（1）求证：

CA

CD

=

AF

DE

；
（2）若

CA

AD

=

3

2

，圆O₁的半径为2，且∠C=30°，求DE的长．

Answer 1

分析：（1）观察要证明的比例式，则需要证明AF∥DE．连接AB．根据直径所对的圆周角是直角，得∠ABC=90°，再根据圆内接四边形的外角等于它的内对角，得∠CBA=∠D=90°，根据切线的性质，得∠CAF=90°，从而根据同位角相等，得两条直线平行；
（2）由（1）得直角三角形CDE，要求DE的长，已知∠C=30°，只需求得该直角三角形的一边即可．根据已知圆的半径，得AC=4，结合（1）所证明的比例式即可求解．

解答：（1）证明：连接AB．
∵AC是直径，
∴∠CBA=90°．
又∵四边形ABED内接于⊙O₂，
∴∠CBA=∠D=90°．
又∵AF切⊙O₁于A点，
∴∠CAF=90°．
∴AF∥DE．
∴

CA

CD

=

AF

DE

．

（2）解：∵

CA

AD

=

3

2

，
又∵CA=1，
∴CD=

20

3

．
在Rt△CDE中，tan30°=

DE

20 3

，
∴DE=

20

9

3

．

点评：此题综合运用了圆周角定理的推论、圆内接四边形的性质、切线的性质、平行线分线段成比例定理以及解直角三角形的知识．