Question

已知：如图，为的弦，于，交于点，于，.

【小题1】⑴求证：为的切线；
【小题2】⑵当时，求阴影部分的面积.

Answer 1

【小题1】
∵BC为⊙O的弦，OA⊥BC于E，
∴BE=CE。
∴AC=AB。
∴∠CBA=∠BCA，而AD⊥AC，∠D=2∠B=60°。
∴∠BCA=30°，∠ACD=30°。
∴∠EAC=60°。
∴∠OCA=60°。
∴∠OCD=90°。
∴CD为⊙O的切线。
【小题2】2

解析考点：切线的判定。
分析：
（1）连OC，由垂径定理得到AB=AC，这样可求出∠OCA和∠ACD，就可得到∠OCD=90°。
（2）通过图形变换，阴影部分的面积等于三角形ADC的面积，求出△ACD的面积即可。
解答：
（1）证明：
∵BC为⊙O的弦，OA⊥BC于E，
∴BE=CE。
∴AC=AB。
∴∠CBA=∠BCA，而AD⊥AC，∠D=2∠B=60°。
∴∠BCA=30°，∠ACD=30°。
∴∠EAC=60°。
∴∠OCA=60°。
∴∠OCD=90°。
∴CD为⊙O的切线。
（2）∵AB=AC，
∴弓形AB和弓形AC的面积相等。
∴阴影部分的面积=直角三角形ADC的面积。
又∵BC=6，
∴CE=3．
在直角三角形CEA中，∠ACE=30°，
∴AC=2。
在直角三角形CDA中，∠ACD=30°，
∴AD=2。
所以三角形ADC的面积等于2，即阴影部分的面积为2。
点评：熟练掌握切线的判定定理，记住含30°的直角三角形三边的比为1：：2；学会把不规则的几何图形转化为规则的几何图形。