Question

【题目】已知⊙O的弦AB长为2，C是⊙O上一点，若，则的面积的最大值为________.

Answer 1

【答案】+1．

【解析】

首先过C作CM⊥AB于M，由弦AB已确定，可得要使△ABC的面积最大，只要CM取最大值即可，即可得当CM过圆心O时，CM最大，然后由圆周角定理，证得△AOB是等腰直角三角形，则可求得CM的长，继而求得答案．

过C作CM⊥AB于M，

∵弦AB已确定，
∴要使△ABC的面积最大，只要CM取最大值即可，
如图所示，当CM过圆心O时，CM最大，
∵CM⊥AB，CM过O，
∴AM=BM（垂径定理），
∴AC=BC，
∵∠AOB=2∠ACB=2×45°=90°，
∴OM=AM=AB=×2=1，
∴OA= =，
∴CM=OC+OM=+1，
∴S△ABC=ABCM=×2×（+1）=+1．
故答案为+1．