Question

如图，BC是半圆O的直径，点A在半圆O上，点D是AC的中点，点E在

AC

上运动．若AB=2，tan∠ACB=

1

2

，请问：分别以点A、E、D为直角顶点的等腰三角形AED存在吗？请逐一说明理由．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：先运用三角函数求出AB，AD，CD之间的关系，再分三种情况说明①利用假设存在以点A为直角顶点的等腰三角形与已知得出矛盾，②以点E为直角顶点的等腰三角形存在，运用三角形全等证明．③利用假设存在以点A为直角顶点的等腰三角形与已知得出矛盾．

解答：解：∵BC为半⊙O的直径
∴∠BAC=90°
∴tan∠ACB=

AB

AC

∵tan∠ACB=

1

2

，AB=2
∴AC=4
∵D为AC中点
∴AD=CD=

1

2

AC=2
∴AB=AD=CD=2                                    
①以点A为直角顶点的等腰三角形不存在
若存在，则∠CAE=90°
∵∠BAC=90°
∴B、A、E成一条直线
∴B、A、E不可能在同一个圆上，即点E不在⊙O上
因此以点A为直角顶点的等腰三角形不存在              
②如图1，以点E为直角顶点的等腰三角形存在，

∵BC为半⊙O的直径
∴∠BEC=∠4+∠5=90°
∵∠AED=∠3+∠5=90°
∴∠3=∠4，
又∵∠1=∠2，AB=DC，
在△ABE和△DCE中，

∠3=∠4 ∠1=∠2 AB=DC

，
∴△ABE≌△DCE（AAS）
∴AE=DE，
∴△AED为等腰直角三角形．
③以点D为直角顶点的等腰三角形不存在
如图2，连接EC

假设点D为直角顶点的等腰三角形存在
则ED=AD=2，∠DAE=∠AED=45°，
∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE=EC，
∴∠CED=∠AED=45°，
∴∠AEC=90°，
∴AC为直径
∵AC＜BC，不为直径
∴假设不成立
∴以点D为直角顶点的等腰三角形不存在．
综上所述，只有当以点E顶点时存在等腰直角三角形AED．

点评：本题主要考查了圆的综合题，涉及三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形等知识，解题的关键是运用三角形全等及假设法来证明等腰直角三角形AED是否存在．