Question

16．如图，四边形ABCD是平行四边形，∠D=45°，对角线AC⊥CD，过点A作AE⊥BC于E，∠CAE的平分线AF交BC于F，过B作BG⊥AF于Q，分别与AE、AC、AD相交于点P、H、G．
（1）求证：AB=AG：
（2）若PE=6cm．求线段CH的长．

Answer 1

分析 （1）先根据等式性质证明∠BAQ=∠GAQ，再由垂直得∠BQA=∠AQG=90°，则∠ABG=∠AGB，所以AB=AG；
（2）先证明△APG∽△EPB，得$\frac{AP}{PE}=\frac{AG}{BE}$，求出AP的长，就是AH的长；再证明△AHG∽△CHB，得$\frac{AH}{CH}=\frac{AG}{BC}$，求出CH=$\sqrt{2}$AH，得出结论．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABE=∠D=45°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∴∠BAE=45°，
同理∠CAD=45°，
∵AF平分∠EAC，
∴∠EAF=∠CAF，
∴∠BAQ=∠GAQ，
∵AF⊥BG，
∴∠BQA=∠AQG=90°，
∴∠ABG=∠AGB，
∴AB=AG；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AG∥BE，
∴∠GAP=∠BEP，∠AGP=∠PBE，
∴△APG∽△EPB，
∴$\frac{AP}{PE}=\frac{AG}{BE}$，
由（1）得△ABE是等腰直角三角形，
∴AB=$\sqrt{2}$BE，
∴AB=AG=$\sqrt{2}$BE，
∴$\frac{AP}{PE}$=$\frac{\sqrt{2}BE}{BE}$=$\sqrt{2}$，
∵PE=6，
∴AP=6$\sqrt{2}$，
同（1）得AP=AH=6$\sqrt{2}$，
∵△AHG∽△CHB，
∴$\frac{AH}{CH}=\frac{AG}{BC}$，
∵△ACD也是等腰直角三角形，
∴AD=$\sqrt{2}$CD，
∵AD=BC，AB=CD=AG，
∴BC=$\sqrt{2}$AG，
∴$\frac{AH}{CH}$=$\frac{AG}{\sqrt{2}AG}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴CH=$\sqrt{2}$AH=$\sqrt{2}$×6$\sqrt{2}$=12．

点评 本题考查了平行四边形的性质，明确平行四边形对边相等且平行，对角相等；根据45°和垂直得到等腰直角三角形，从而得出等腰直角三角形的斜边是直角边的$\sqrt{2}$倍，这一结论经常运用，要熟练掌握．