Question

如图(13.1)，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0，2)，连接AC，若tan∠OAC＝2．

(1)求抛物线对应的二次函数的解析式；
(2)在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使∠APC＝90°，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图(13.2)所示，连接BC，M是线段BC上(不与B、C重合)的一个动点，过点M作直线l′∥l，交抛物线于点N，连接CN、BN，设点M的横坐标为t．当t为何值时，△BCN的面积最大？最大面积为多少？

Answer 1

（1）y=x²－3x＋2
（2）点P的坐标为（，）或（，）
（3）1解析:
解：（1）∵抛物线y=x²＋bx＋c过点C(0,2). ∴x=2
又∵tan∠OAC=="2," ∴OA=1,即A(1,0).
又∵点A在抛物线y=x²＋bx＋2上. ∴0=1²＋b×1＋2,b=－3
∴抛物线对应的二次函数的解析式为y=x²－3x＋2
（2）存在

过点C作对称轴l的垂线,垂足为D,如图所示,
∴x=－.∴AE=OE-OA=-1=,∵∠APC=90°,
∴tan∠PAE= tan∠CPD∴,即，解得PE=或PE=，
∴点P的坐标为（，）或（，）。（备注：可以用勾股定理或相似解答）
（3）如图，易得直线BC的解析式为：y=-x＋2，
∵点M是直线l′和线段BC的交点，∴M点的坐标为（t，-t+2）(0＜t＜2)
∴MN=-t+2-(t²－3t＋2)="-" t²＋2t
∴S△BCM= S△MNC+S△MNB=MN?t+MN?(2-t)
=MN?(t+2-t)="MN=-" t²＋2t(0＜t＜2),
∴S△BCN="-" t²＋2t=-(t-1)²+1
∴当t=1时，S△BCN的最大值为1。
备注：如果没有考虑的取值范围，可以不扣分）