Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣1与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A、B两点，其中A（m，0）、B（4，n），该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D．

（1）求m、n的值及该抛物线的解析式；

（2）如图2，若点P为线段AD上的一动点（不与A、D重合），分别以AP、DP为斜边，在直线AD的同侧作等腰直角△APM和等腰直角△DPN，连接MN，试确定△MPN面积最大时P点的坐标；

（3）如图3，连接BD、CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ABD相似，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）m=1,n=3, y＝﹣x2+6x﹣5；(2) 当m＝2，即AP＝2时，S△MPN最大，此时OP＝3，即P（3，0）；(3)存在，点Q的坐标为（2，﹣3）或（），理由见解析

【解析】

（1）把A与B坐标代入一次函数解析式求出m与n的值，确定出A与B坐标，代入二次函数解析式求出b与c的值即可；

（2）由等腰直角△APM和等腰直角△DPN，得到∠MPN为直角，由两直角边乘积的一半表示出三角形MPN面积，利用二次函数性质确定出三角形面积最大时P的坐标即可；

（3）存在，分两种情况，根据相似得比例，求出AQ的长，利用两点间的距离公式求出Q坐标即可．

解：（1）把A（m，0），B（4，n）代入y＝x﹣1得：m＝1，n＝3，

∴A（1，0），B（4，3），

∵y＝﹣x2+bx+c经过点A与点B，

∴，

解得：，

则二次函数解析式为y＝﹣x2+6x﹣5；

（2）如图2，△APM与△DPN都为等腰直角三角形，

∴∠APM＝∠DPN＝45°，

∴∠MPN＝90°，

∴△MPN为直角三角形，

令﹣x2+6x﹣5＝0，得到x＝1或x＝5，

∴D（5，0），即DA＝5﹣1＝4，

设AP＝m，则有DP＝4﹣m，

∴PM＝m，PN＝（4﹣m），

∴S△MPN＝PMPN＝×m×（4﹣m）＝﹣m2+m＝﹣（m﹣2）2+1，

∴当m＝2，即AP＝2时，S△MPN最大，此时OP＝3，即P（3，0）；

（3）存在，

易得直线CD解析式为y＝x﹣5，设Q（x，x﹣5），

由题意得：∠BAD＝∠ADC＝45°，

当△ABD∽△/span>DAQ时，，即，

解得：AQ＝，

由两点间的距离公式得：（x﹣1）2+（x﹣5）2＝，

解得：x＝或x＝，此时Q（，﹣）或（，﹣）（舍去）；

当△ABD∽△DQA时，＝1，即AQ＝，

∴（x﹣1）2+（x﹣5）2＝10，

解得：x＝2或x＝4，此时Q（2，﹣3）或（4，﹣1）（舍去），

综上，点Q的坐标为（2，﹣3）或（）．