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    几何模型：
    条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个定点．

    问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．
    方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）．
    模型应用：
    （1）如图2，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是
    		5
    		5
    ；
    （2）如图3，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值是
    2
    		3
    2
    		3
    ；
    （3）如图4，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=5，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．
    分析：（1）由题意易得PB+PE=PD+PE=DE，在△ADE中，根据勾股定理求得即可；
    （2）作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P，求A′C的长，即是PA+PC的最小值；
    （3）作出点P关于直线OA的对称点M，关于直线OB的对称点N，连接MN，它分别与OA，OB的交点Q、R，这时三角形PEF的周长=MN，只要求MN的长就行了．
    解答：解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
    ∴AC垂直平分BD，
    ∴PB=PD，
    由题意易得：PB+PE=PD+PE=DE，
    在△ADE中，根据勾股定理得，DE=
    		22+12
    =
    		5
    ；

    （2）作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P，
    PA+PC的最小值即为A′C的长，
    ∵∠AOC=60°
    ∴∠A′OC=120°
    作OD⊥A′C于D，则∠A′OD=60°
    ∵OA′=OA=2
    ∴A′D=
    		3
    ，
    ∴A′C=2
    		3
    ，即PA+PC的最小值是2
    		3
    ；

    （3）分别作点P关于OA、OB的对称点M、N，连接OM、ON、MN，MN交OA、OB于点Q、R，连接PR、PQ，此时△PQR周长的最小值等于MN．
    由轴对称性质可得，OM=ON=OP=5，∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB，
    ∴∠MON=2∠AOB=2×45°=90°，
    在Rt△MON中，MN=
    		OM2+ON2
    =
    		52+52
    =5
    		2
    ．
    即△PQR周长的最小值等于5
    		2
    ．
    故答案为：
    		5
    ；2
    		3
    ．
    点评：此题综合性较强，主要考查有关轴对称--最短路线的问题，综合应用了正方形、圆、等腰直角三角形的有关知识．
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    （1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB+PE的最小值是
     
    ；
    （2）如图2，∠AOB=45°，P是∠AOB内一定点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．（要求画出示意图，写出解题过程）
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    		5
    		5
    ；
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    （3）如图3，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，求PA+PC的最小值．

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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    阅读理解题：
    【几何模型】
    条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个定点．
    问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．
    方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′P+PB=A′B，
    由“两点之间，线段最短”可知，点P即为所求的点．

    【模型应用】
    如图2所示，两个村子A、B在一条河CD的同侧，A、B两村到河边的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，CD=3千米．现要在河边CD上建造一水厂，向A、B两村送水，铺设水管的工程费用为每千米15000元，请你在CD上选择水厂位置，使铺设水管的费用最省，并求出最省的铺设水管的费用W．

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    科目：初中数学 来源：期中题 题型：解答题

    阅读理解题：【几何模型】
    条件：如图，A、B是直线l同旁的两个定点，问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小。
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