Question

7．已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）当△PBQ是直角三角形时，求t的值；
（2）求四边形APQC的面积（用含t的代数式表示）；
（3）是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的$\frac{2}{3}$？如果存在，求出相应的t值；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）分情况进行讨论：①∠BPQ=90°；②∠BQP=90°．然后在直角三角形BQP中根据BP，BQ的表达式和∠B的度数进行求解即可．
（2）先用△ABC的面积-△PBQ的面积表示出四边形APQC的面积，即可；
（3）四边形APQC的面积等于三角形ABC面积的三分之二，可得出一个关于t的方程，如果方程无解则说明不存在这样的t值，如果方程有解，那么求出的t值就是题目所求的值．

解答 解：（1）根据题意得AP=tcm，BQ=tcm，
△ABC中，AB=BC=3cm，∠B=60°，
∴BP=（3-t）cm，
△PBQ中，BP=3-t，BQ=t，若△PBQ是直角三角形，则
∠BQP=90°或∠BPQ=90°，
当∠BQP=90°时，BQ=$\frac{1}{2}$BP，
即t=$\frac{1}{2}$（3-t），t=1（秒），
当∠BPQ=90°时，BP=$\frac{1}{2}$BQ，
∴3-t=$\frac{1}{2}$t，
∴t=2（秒），
答：当t=1秒或t=2秒时，△PBQ是直角三角形．

（2）如图，

过P作PM⊥BC于M，
在△BPM中，sin∠B=$\frac{PM}{PB}$，
∴PM=PB•sin∠B=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（3-t），
∴S_△PBQ=$\frac{1}{2}$BQ•PM=$\frac{1}{2}$•t•$\frac{\sqrt{3}}{2}$（3-t），
∴S_{四边形APQC}=S_△ABC-S_△PBQ，
=$\frac{1}{2}$×3×（3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$）-$\frac{1}{2}$•t•$\frac{\sqrt{3}}{2}$（3-t），
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$t+$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，
（3）假设存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的$\frac{2}{3}$，
则S_{四边形APQC}=$\frac{2}{3}$S_△ABC，
∵△ABC是等边三角形，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×BC×$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$BC²，

∴$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$t+$\frac{9\sqrt{3}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×3²，
∴t²-3t+3=0，
∵△=（-3）²-4×1×3＜0，
∴方程无解，
∴无论t取何值，四边形APQC的面积都不可能是△ABC面积的$\frac{2}{3}$．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了直角三角形的判定、等边三角形的面积公式，图形面积的求法、勾股定理以及二次函数的应用等知识点．考查学生数形结合的数学思想方法．得出四边形APQC的面积是解本题的关键．