Question

【题目】某公司有A型产品40件，B型产品60件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且都能卖完．两商店销售这两种产品每件的利润（元）如下表：

	A型利润（元/件）	B型利润（元/件）
甲店	180	150
乙店	120	110

（1）设分配给甲店A型产品x件，这家公司卖出这100件产品的总利润为W（元），求W关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

（2）若要求总利润超过14960元，有多少种不同分配方案？请列出具体方案；

（3）为了促销，公司决定仅对甲店A型产品让利销售，每件让利a元，但让利后A型产品的每件利润仍高于甲店B型产品的每件利润，甲店的B型产品以及乙店的A，B型产品的每件利润不变，该公司如何设计分配方案，使总利润达到最大？

Answer 1

【答案】（1）W＝20x+14200， 10≤x≤40；（2）有两种不同的分配方案：:①x＝39时，甲店A型39件，B型31件，乙店A型1件，B型29件；②x＝40时，甲店A型40件，B型30件，乙店A型0件，B型30件；（3）详见解析.

【解析】

(1)根据题意得，甲店B型产品有（70﹣x）件，乙店A型有（40﹣x）件，B型有（x﹣10）件，，那么总利润等于每件相应商品的利润×相应件数之和；根据各个店面的商品的数量为非负数可得自变量的取值范围；
(2)让(1)中的代数式大于14960，结合(1)中自变量的取值可得相应的分配方案；
(3)根据让利后A型产品的每件利润仍高于甲店B型产品的每件利润可得a的取值，结合(1)得到相应的总利润，根据a的不同取值得到利润的函数应得到的最大值的方案即可．

解：（1）由题意得，甲店B型产品有（70﹣x）件，乙店A型有（40﹣x）件，B型有（x﹣10）件，

则W＝180x+150（70﹣x）+120（40﹣x）+110（x﹣10）＝20x+14200．

由，

解得10≤x≤40；

（2）由W＝20x+14200＞14960，

解得x＞38．

故38＜x≤40，x＝39，40．

则有两种不同的分配方案．

①x＝39时，甲店A型39件，B型31件，乙店A型1件，B型29件；

②x＝40时，甲店A型40件，B型30件，乙店A型0件，B型30件；

（3）依题意：W＝（180﹣a）x+150（70﹣x）+120（40﹣x）+110（x﹣10）＝（20﹣a）x+14200．

①当0＜a＜20时，20﹣a＞0，W随x增大而增大，

∴x＝40，W有最大值，

即甲店A型40件，B型30件，乙店A型0件，B型30件，能使总利润达到最大；

②当a＝20时，10≤x≤40，W＝16800，符合题意的各种方案，使总利润都一样；

③当20＜a＜30时，20﹣a＜0，W随x增大而减小，

∴x＝10，W有最大值，

即甲店A型10件，B型60件，乙店A型30件，B型0件，能使总利润达到最大．