Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点M在BC上，连接AM，作∠AMN＝∠AMB，点N在直线AD上，MN交CD于点E．

(1)求证：△AMN是等腰三角形；

(2)求证：AM2＝2BMAN；

(3)当M为BC中点时，求ME的长．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).

【解析】

（1）利用矩形和平行线的性质求证∠AMN＝∠NAM，从而等角对等边；（2）根据等腰三角形和相似三角形的性质列比例式，得到ANBM＝AHAM＝AM2，从而求证；(3)由（2）的结论和已知条件求得AN＝5，DN＝3，然后根据平行线判定△DNE∽△CME，从而列出比例式求DE的长度，最后利用勾股定理求解.

(1)∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠NAM＝∠BMA，

∵∠AMN＝∠AMB，

∴∠AMN＝∠NAM，

∴AN＝MN，即△AMN是等腰三角形；

(2)∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD＝BC＝2，AB＝CD＝3，

∴∠NAM＝∠BMA，

作NH⊥AM于H，如图所示：

∵AN＝MN，NH⊥AM，

∴AH＝AM，

∵∠NHA＝∠ABM＝90°，∠NAM＝∠BMA，

∴△NAH∽△AMB，

∴，

∴ANBM＝AHAM＝AM2，

∴AM2＝2BMAN；

(3)∵M为BC中点，

∴BM＝CM＝BC＝×2＝1，

由(2)得：AM2＝2BMAN，

即：AM2＝2AN，

∵AM2＝AB2+BM2＝32+12＝10，

∴10＝2AN，

∴AN＝5，

∴DN＝AN﹣AD＝5﹣2＝3，

设DE＝x，则CE＝3﹣x，

∵AN∥BC，

∴△DNE∽△CME

∴，即 ，

解得：x＝，即DE＝，

∴CE＝DC﹣DE＝3﹣＝，

∴在Rt△MEC中，ME＝．