Question

如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，平行四边形的顶点C的坐标为(8，8)，顶点A的坐标为(－6，0)，边AB在x轴上，点E为线段AD的中点，点F在线段DC上，且横坐标为3，直线EF与y轴交于点G，有一动点P以每秒1个单位长度的速度，从点A沿折线A－B－C－F运动，当点P到达点F时停止运动，设点P运动时间为t秒．

(1)求直线EF的表达式及点G的坐标；

(2)点P在运动的过程中，设△EFP的面积为S(P不与F重合)，试求S与t的函数关系式；

(3)在运动的过程中，是否存在点P，使得△PGF为直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵C(8，8)，DC∥x轴，点F的横坐标为3， 　　∴OD＝CD＝8． 　　∴点F的坐标为(3，8)．(1分) 　　∵A(－6，0)， 　　∴OA＝6． 　　∴AD＝10． 　　过点E作EH⊥x轴于点H， 　　则△AHE∽△AOD． 　　又E为AD的中点， 　　∴＝＝＝． 　　∴AH＝3，EH＝4． 　　∴OH＝3． 　　∴点E的坐标为(－3，4)．(2分) 　　设过E、F的直线为y＝kx＋b， 　　∴ 　　∴ 　　∴直线EF为y＝x＋6．(3分) 　　令x＝0，则y＝6， 　　∴点G的坐标为(0，6)．(4分) 　　(2)延长HE交CD的延长线于点M， 　　则EM＝EH＝4． 　　∵DF＝3， 　　∴S△DEF＝×3×4＝6， 　　且S平行四边形ABCD＝CD·OD＝8×8＝64． 　　①当点P在AB上运动时， 　　S＝S平行四边形ABCD－S△DEF－S△APE－S四边形PBCF． 　　∵AP＝t，EH＝4， 　　∴S△APE＝×4t＝2t， 　　S四边形PBCF＝(5＋8－t)×8＝52－4t． 　　∴S＝64－6－2t－(52－4t)， 　　即S＝2t＋6．(6分) 　　②当点P在BC边上运动时， 　　S＝S平行四边形ABCD－S△DEF－S△PCF－S四边形ABPE． 　　过点P作PN⊥CD于点N． 　　∵∠C＝∠A，sin∠A＝＝， 　　∴sin∠C＝． 　　∵PC＝18－t， 　　∴PN＝PC·sin∠C＝(18－t)． 　　∵CF＝5， 　　∴S△PCF＝×5×(18－t)＝36－2t． 　　过点B作BK⊥AD于点K． 　　∵AB＝CD＝8， 　　∴BK＝AB·sin∠A＝8×＝． 　　∵PB＝t－8， 　　∴S四边形ABPE＝(t－8＋5)×＝t－． 　　∴S＝64－6－(36－2t)－(t－)， 　　即S＝－t＋．(8分) 　　③当点P在CF上运动时， 　　∵PC＝t－18， 　　∴PF＝5－(t－18)＝23－t． 　　∵EM＝4， 　　∴S△PEF＝×4×(23－t)＝46－2t．(10分) 　　综上： 　　(3)存在． 　　P1(，)，(12分) 　　P2(，)．(14分) 　　(注：解答题如用其他方法解题请参照评分标准给分．)