Question

18．如图，线段EF经过菱形ABCD的顶点C，分别交AB、AD的延长线于E、F两点，已知∠ADC=3∠BCE．
（1）如图1，若∠A=90°，求证：FC=2CD；
（2）如图2，求证：AB²=BE•DF；
（3）若DF=3，AD=$\sqrt{3}$，则EF的长为2+2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）先由∠A=90°，判定菱形ABCD为正方形，再根据∠ADC=3∠BCE=3∠F，求出∠F=30°，然后在Rt△CDF中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半即可得出FC=2CD；
（2）设∠BCE=∠F=α，则∠ADC=3α，∠DCF=2α．先由平行线的性质得出∠EBC=∠A=∠CDF，再根据两角对应相等的两个三角形相似得出△BEC∽△DCF，则$\frac{BE}{DC}=\frac{BC}{DF}$，由BC=DC，得到BC²=BE×DF．延长AE到点P，使EP=EC，连接PC，利用AAS证明△PBC≌△FDC，得出BP=DF，进而得出BC²=BE²+BE•CE；
（3）先由BC²=BE×DF，求出BE=1，再由BP=DF=BE+EP=3，得到PE=2=EC，然后根据△BEC∽△DCF，得到$\frac{EC}{CF}=\frac{BE}{DC}$，求得CF=2$\sqrt{3}$，则EF=EC+CF=2+2$\sqrt{3}$．

解答 解：（1）如图1．∵四边形ABCD是菱形，∠A=90°，
∴菱形ABCD为正方形，BC∥AD，
∴∠ADC=90°，∠BCE=∠F，
又∵∠ADC=3∠BCE=3∠F，
∴∠F=30°．
在Rt△CDF中，∵∠CDF=90°，∠F=30°，
∴FC=2CD；
（2）如图2．设∠BCE=∠F=α，则∠ADC=3α，∠DCF=∠ADC-∠F=3α-α=2α．
∵AE∥DC，BC∥AF，
∴∠EBC=∠A=∠CDF．
在△BEC与△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCE=∠F}\\{∠EBC=∠CDF}\end{array}\right.$，
∴△BEC∽△DCF，
∴∠BEC=∠DCF=2α，$\frac{BE}{DC}=\frac{BC}{DF}$，
∴BC×DC=BE×DF，
∵BC=DC，
∴BC²=BE×DF．
延长AE到点P，使EP=EC，连接PC，则∠P=∠ECP，
∵∠BEC=∠P+∠ECP=2α，
∴∠P=∠ECP=α．
在△PBC与△FDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠P=∠F}\\{∠PBC=∠FDC}\\{BC=DC}\end{array}\right.$，
∴△PBC≌△FDC，
∴BP=DF．
∵BP=PE+BE，PE=EC，
∴DF=BE+CE，
∴BC²=BE×DF=BE×（BE+CE）=BE²+BE•CE，
即BC²=BE²+BE•CE；
（3）∵BC²=BE×DF，BC=AD=$\sqrt{3}$，DF=3，
∴（$\sqrt{3}$）²=BE×3，
∴BE=1．
∵BP=DF=BE+EP=3，
∴PE=BP-BE=3-1=2=EC．
∵△BEC∽△DCF，
∴$\frac{EC}{CF}=\frac{BE}{DC}$，$\frac{2}{CF}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，
∴CF=2$\sqrt{3}$，
∴EF=EC+CF=2+2$\sqrt{3}$．
故答案为：2+2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正方形的判定与性质，直角三角形的性质，相似三角形、全等三角形的判定与性质，综合性较强，有一定难度．准确作出辅助线是解题的关键．