Question

如图，两个正方形ABCD和AEFG共顶点A，连BE，DG，CF，AE，BG，K，M分别为DG和CF的中点，KA的延长线交BE于H，MN⊥BE于N．则下列结论：①BG=DE且BG⊥DE；②△ADG和△ABE的面积相等；③BN=EN，④四边形AKMN为平行四边形．其中正确的是（　　）

• A、③④
• B、①②③
• C、①②④
• D、①②③④

Answer 1

分析：充分利用三角形的全等，正方形的性质，平行四边形的性质依次判断所给选项的正误即可．

解答：解：由两个正方形的性质易证△AED≌△AGB，
∴BG=DE，∠ADE=∠ABG，
∴可得BG与DE相交的角为90°，
∴BG⊥DE．①正确；
如图，延长AK，使AK=KQ，连接DQ、QG，
∴四边形ADQG是平行四边形；
作CW⊥BE于点W，FJ⊥BE于点J，
∴四边形CWJF是直角梯形；
∵AB=DA，AE=DQ，∠BAE=∠ADQ，
∴△ABE≌△DAQ，
∴∠ABE=∠DAQ，
∴∠ABE+∠BAH=∠DAQ+∠BAH=90°．
∴△ABH是直角三角形．
易证：△CWB≌△BHA，△EJF≌△AHE；
∴WB=AH，AH=EJ，
∴WB=EJ，
又WN=NJ，
∴WN-WB=NJ-EJ，
∴BN=NE，③正确；
∵MN是梯形WGFC的中位线，WB=BE=BH+HE，
∴MN=

1

2

（CW+FJ）=

1

2

WC=

1

2

（BH+HE）=

1

2

BE；
易证：△ABE≌△DAQ（SAS），∴AK=

1

2

AQ=

1

2

BE，
∴MN∥AK且MN=AK；
四边形AKMN为平行四边形，④正确．
S_△ABE=S_△ADQ=S_△ADG=

1

2

S_{?ADQG，②正确}．
所以，①②③④都正确；
故选D．

点评：当出现两个正方形时，一般应出现全等三角形．图形较复杂，选项较多时，应用排除法求解．