分析 (1)观察平移后抛物线顶点坐标的特点,然后依据规律即可得到平移后抛物线yk的解析式;
(2)如图1所示:过点F作FG⊥PE,垂足为G.由yK=-(x-k)2+2k可知顶点Pk(k,2k),对称轴为x=k,对称轴与抛物线y=-x2的交点为E(k,-k2),然后求得抛物线的交点F($\frac{k-2}{2}$,-$\frac{(k-2)^{2}}{4}$),最后依据tan∠FPkE=$\frac{1}{3}$列方程求解即可;
(3)平移后的抛物线的顶点Pk的坐标是(k,2k),当k>0时,点Bk的坐标是(3k,2k).将Bk(3k,2k)代入yk+m=-[x-(k+m)]2+2(k+m)得到关于k和m的方程,然后根据k和m为整数可求得k的值;当k<0时,则Bk的坐标是(-k,2k).将Bk(-k,2k)代入yk+m=-[x-(k+m)]2+2(k+m)得到关于k和m的方程,由k、m为整数,可求得k的值.
解答 解:(1)∵抛物线y=-x2通过平移后得到…,y1=-(x-1)2+2,y2=-(x-2)2+4,y3=-(x-3)2+6,…,
∴yK=-(x-k)2+2k;
(2)如图1所示:过点F作FG⊥PE,垂足为G.
由yK=-(x-k)2+2k可知顶点Pk(k,2k),对称轴为x=k,对称轴与抛物线y=-x2的交点为E(k,-k2),
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}}\\{y=-(x-k)^{2}+2k}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{k-2}{2}}\\{y=-\frac{(k-2)^{2}}{4}}\end{array}\right.$,
∴F($\frac{k-2}{2}$,-$\frac{(k-2)^{2}}{4}$),
∵tan∠FPkE=$\frac{1}{3}$,
∴$\frac{FG}{PG}=\frac{1}{3}$即$\frac{|k-\frac{k-2}{2}|}{|2k+\frac{(k-2)^{2}}{4}|}$=$\frac{1}{3}$,整理得:6|k+2|=(k+2)2,
解得k=4或-8或-2;
当k=-2时原方程无意义,故k=-2不是原方程的根.
∴k的值为4或-8.
(3)∵平移后的抛物线的顶点Pk的坐标是(k,2k),由题意得AkPk=PkBk=2|k|.
当k>0时,点Bk的坐标是(3k,2k).
设Bk(3k,2k)恰好落在抛物yk+m=-[x-(k+m)]2+2(k+m)上,则-[3k-(k+m)]2+2(k+m)=2k.
整理得:(2k-m)2=2m.
解得:2k=±$\sqrt{2m}$+m.
∵k、m为整数,
∴当m=2时,k=2或0(0不合题意,舍去);
当m=8时,k=2或6;
当m=18时,k=6或12(12不合题意,舍去).
当k<0时,则Bk的坐标是(-k,2k).
设Bk(-k,2k)恰好落在抛物线yk+m=-[x-(k+m)]2+2(k+m)上,则-[-k-(k+m)]2+2(k+m)=2k.
整理得:(-2k-m)2=2m.
解得:2k=±$\sqrt{2m}$-m.
∵k、m为整数,
∴当m=2时,k=-2或0(0不合题意,舍去);当m=18时,k=-6或-12(-12不合题意,舍去).
综上所述,可知当k=±2或k=±6时,正方形的顶点Bk恰好在其他的“好顶点抛物线”上.
点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用,解答本题主要应用了二次函数的顶点式、锐角三角函数的定义、点的坐标与函数解析式的关系,找出抛物线的顶点坐标存在的规律是解答问题(1)的关键,求得点F、E、P的坐标是解答问题(2)的关键,依据题意得到k和m的方程,并根据k和m为整数确定出k和m的值是解答问题(3)的关键.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | a=3,b=1 | B. | a=-3,b=1 | C. | a=3,b=-1 | D. | a=-3,b=-1 |
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科目:初中数学 来源: 题型:填空题
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | π | B. | $\frac{1}{2}$π | C. | $\frac{1}{4}$π | D. | 2π |
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