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    11．观察思考
    某种在同一平面进行传动的机械装置如图1，图2是它的示意图．其工作原理是：滑块Q在平直滑道l上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且PQ带动连杆OP绕固定点O摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P在以OP为半径的⊙O上运动．数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点O作OH⊥l于点H，并测得OH=4分米，PQ=3分米，OP=2分米．

    解决问题
    （1）点Q与点O间的最小距离是4分米；点Q与点O间的最大距离是5分米；点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是6分米．
    （2）如图3，小明同学说：“当点Q滑动到点H的位置时，PQ与⊙O是相切的．”你认为他的判断对吗？为什么？
    （3）①小丽同学发现：“当点P运动到OH上时，点P到l的距离最小．”事实上，还存在着点P到l距离最大的位置，此时，点P到l的距离是3分米；
    ②当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的度数．

    分析 （1）当OQ最小时，Q、H重合，此时OQ=OH=4；当O、Q的距离最大时，O、P、Q三点共线，此时OQ=OP+PQ=5；当O、P、Q三点共线时，在Rt△OQH中，由勾股定理可求得QH=3，那么点Q在l上的最大滑动距离为2QH=6．
    （2）显然不对，当Q、H重合时，OP=2、PQ=3、OH=4，显然构不成直角三角形，故PQ与⊙O不相切．
    （3）①当P到直线l的距离最长时，这个最大距离为PQ=3，此时PQ⊥直线l；
    ②当P到直线l的距离最大时，OP无法再向下摆动，若设点P摆动的两个极限位置为P、P′，连接PP′，则四边形PQ′QP是矩形，设OH与PP′交于点D，那么PQ′=DH=PQ=3，则OD=OH-DH=1，在Rt△OPD中，OP=2，OD=1，则∠POD=60°，∠POP′=120°，由此得解．

    解答 解：（1）当OQ最小时，Q、H重合，此时OQ=OH=4；
    当O、Q的距离最大时，O、P、Q三点共线，此时OQ=OP+PQ=5；
    当O、P、Q三点共线时，在Rt△OQH中，由勾股定理可求得QH=3，
    那么点Q在l上的最大滑动距离为2QH=6．
    故答案为：4，5，6；

    （2）不对．
    ∵OP=2，PQ=3，OH=4，
    ∵当Q、H重合时，OQ=OH=4，
    ∵42≠32+22，即OQ2≠PQ2+OP2，
    ∴OP与PQ不垂直．∴PQ与⊙O不相切．

    （3）①因为PQ的值永远是3，只有PQ⊥l时，
    点P到直线l的距离最大，此时最大的距离是3分米；
    故答案为：3；
    ②由①知，在⊙O上存在点P，P'到l的距离为3，此时，OP将不能再向下转动，
    如图．OP在绕点O左右摆动过程中所扫过的最大扇形就是P'OP．
    连接P'P，交OH于点D，
    ∵PQ，P'Q'均与l垂直，且PQ=P'Q'=3，
    ∴四边形PQQ'P'是矩形，
    ∴OH⊥PP'，PD=P'D．
    由OP=2，OD=OH-HD=1，得∠DOP=60°．
    ∴∠POP'=120°．
    ∴所求最大圆心角的度数为120°

    点评 此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，结合实际问题考查了数学相关知识的应用，涉及的知识点有：勾股定理、切线的判定、矩形的判定和性质、垂径定理等重要知识，解本题的关键是知道圆外一点到圆上的点的最大距离和最小距离．

    练习册系列答案
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    如图已知：AB∥CD，∠1=45°，∠2=80°，求∠3的度数。

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    6．如图所示，四边形OABC是矩形，点D在OC边上，以AD为折痕，将△OAD向上翻折，点O恰好落在BC边上的点E处，若△ECD的周长为4，△EBA的周长为12．
    （1）求矩形OABC的周长；
    （2）若A点坐标为（5，0），求E点的坐标；
    （3）求经过D、E两点的直线的函数表达式．

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    15．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于sinA的是（　　）
    A．$\frac{CD}{AC}$B．$\frac{CB}{AB}$C．$\frac{BD}{CB}$D．$\frac{CD}{CB}$

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    1．如图1中，∠ABC=90°，点B在直线L上，过A、C两点作直线L的垂线段，垂足分别为点D、点E，容易证得△ADB∽△BEC．此图形如横放的大写英文字母“K”，故常称之为“K形图”，又因为图中的三个直角顶点在同一直线上，又称之为“一线三垂直”，是学习相似三角形的基本图形之一．请以“K形图”为模型，解答下面问题：

    （1）当图1中∠ABC=∠ADB=∠BEC=90°，改为图2中的∠ABC=∠ADB=BEC=α，请问△ADB∽△BEC的结论还成立吗？若成立请证明这个结论，若不成立请说明理由；
    （2）如图3，等边△ABC中，AB=6，将一直角三角板DEF的60°角的顶点E置于边BC上移动（不与B、C重合），移动过程中，始终满足直角边DE经过点A，斜边EF交AC于点G．
    ①求线段AG长度的最小值；
    ②探究：在点E移动过程中，两三角形重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出此时BE的长，若不能，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    17．如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴正半轴交于点A（3，0），与y轴交于点B（0，3），点P是x轴上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点C，交直线AB于点D，设P（x，0）．
    （1）求抛物线的函数表达式；
    （2）当0＜x＜3时，求线段CD的最大值；
    （3）在△PDB和△CDB中，当其中一个三角形的面积是另一个三角形面积的2倍时，求相应x的值；
    （4）过点B，C，P的外接圆恰好经过点A时，x的值为$±\sqrt{3}$．（直接写出答案）

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    18．观察下列运算：
    由（$\sqrt{2}$+1）（$\sqrt{2}$-1）=1，得$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$=$\sqrt{2}$-1；
    由（$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$）（$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）=1，得$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$；
    由（$\sqrt{4}$+$\sqrt{3}$）（$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$）=1，得$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$=$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$；
    …
    （1）通过观察得$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；
    （2）利用（1）中你发现的规律计算：$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2016}+\sqrt{2015}}$．

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