Question

（2013•厦门）如图所示，已知四边形OABC是菱形，∠O=60°，点M是边OA的中点，以点O为圆心，r为半径作⊙O分别交OA，OC于点D，E，连接BM．若BM=

7

，

DE

的长是

3 π

3

．求证：直线BC与⊙O相切．

Answer 1

分析：过点O作OF⊥BC于F，过点B作BG⊥OA于G，则四边形BGOF为矩形，OF=BG．设菱形OABC的边长为2a，先在Rt△BMG中，利用勾股定理得出BG²+GM²=BM²，即（

3

a）²+（2a）²=（

7

）²，求得a=1，得到OF=

3

，再根据弧长公式求出r=

3

，则圆心O到直线BC的距离等于圆的半径r，从而判定直线BC与⊙O相切．

解答：证明：如图，过点O作OF⊥BC于F，过点B作BG⊥OA于G，则四边形BGOF为矩形，OF=BG．
设菱形OABC的边长为2a，则AM=

1

2

OA=a．
∵菱形OABC中，AB∥OC，
∴∠BAG=∠COA=60°，∠ABG=90°-60°=30°，
∴AG=

1

2

AB=a，BG=

3

AG=

3

a．
在Rt△BMG中，∵∠BGM=90°，BG=

3

a，GM=a+a=2a，BM=

7

，
∴BG²+GM²=BM²，即（

3

a）²+（2a）²=（

7

）²，
解得a=1，
∴OF=BG=

3

．
∵

DE

的长=

60πr

180

=

3 π

3

，
∴r=

3

，
∴OF=r=

3

，即圆心O到直线BC的距离等于圆的半径r，
∴直线BC与⊙O相切．

点评：本题考查了菱形的性质，勾股定理，弧长的计算公式，切线的判定，综合性较强，难度适中，利用菱形的性质及勾股定理求出a的值是解题的关键．