Question

如图，在△ABC中，∠B=90°，∠ACB=60°，AB=6

3

，AD⊥AC，连接CD．点E在AC上，AE=

1

3

AC，过点E作MN⊥AC，分别交AB、CD于点M、N．
（1）求ME的长；
（2）当AD=3时，求四边形ADNE的周长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,解直角三角形

专题：计算题

分析：（1）在直角三角形ABC中，由∠ACB的度数求出∠BAC的度数，确定出CB与AC的长，由AE=

1

3

AC，求出AE的长，在直角三角形AEM中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出ME的长即可；
（2）由AD与EN都与AC垂直，得到AD与EN平行，由平行得相似，确定出三角形CEN与三角形CAD相似，由相似得比例，根据AD的长求出EN的长，在直角三角形CEN中，利用勾股定理求出CN的长，进而确定出CD的长，由CD-CN求出DN的长，即可确定出四边形ADNE的周长．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，
∵∠ACB=60°，AB=6

3

，
∴∠BAC=30°，CB=6，AC=12，
∵AE=

1

3

AC，
∴AE=4，
在Rt△AEM中，∠MAE=30°，
∴ME=AEtan30°=

4 3

3

；

（2）∵AD⊥AC，EN⊥AC，
∴AD∥EN，
∴△CEN∽△CAD，
∴

EN

AD

=

CN

CD

=

CE

CA

=

2

3

，
∵AD=3，
∴EN=2，
在Rt△CEN中，CE=8，
∴CN=

EN2+CE2

=

68

=2

17

，CD=

3

2

×2

17

=3

17

，
∴DN=CD-CN=

17

，
则四边形ADNE的周长为3+4+2+

17

=9+

17

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．