数学课堂探究性活动蔚然成风.张老师在课堂上设置一道习题:(1)已知矩形ABCD和点P.当点P在BC上任一位置时.探究PA2.PB2.PC2.PD2之间的关系?直接写出结论.不必证明,当点P在其他位置时.请同学们分组探究:(2)当点P在矩形内部.如图2时.探究PA2.PB2.PC2.PD2之间的数量关系.请你把探究出的结论写出来.并给予证明．(3)当点P在� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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17．数学课堂探究性活动蔚然成风，张老师在课堂上设置一道习题：
（1）已知矩形ABCD和点P，当点P在BC上任一位置（如图1所示）时，探究PA²、PB²、PC²、PD²之间的关系？直接写出结论，不必证明；
当点P在其他位置时，请同学们分组探究：
（2）当点P在矩形内部，如图2时，探究PA²、PB²、PC²、PD²之间的数量关系，请你把探究出的结论写出来，并给予证明．
（3）当点P在矩形外部，如图3时，继续探究PA²、PB²、PC²、PD²之间的数量关系，请你把探究出的结论写出来，不必证明．

分析（1）直接根据勾股定理即可得出结论；
（2）过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N，可在Rt△AMP，Rt△BNP，Rt△DMP和Rt△CNP分别用勾股定理表示出PA²，PC²，PB²，PD²，然后我们可得出PA²+PC²与PB²+PD²，我们不难得出四边形MNCD是矩形，于是，MD=NC，AM=BN，然后我们将等式右边的值进行比较发现PA²+PC²=PB²+PD²．如图（3）方法同（2），过点P作PQ⊥BC交AD，BC于O，易证．

解答证明：（1）如图1中，

∵Rt△ABP中，AB²=AP²-BP²，Rt△PDC中CD²=PD²-PC²，
∵AB=CD，
∴AP²-BP²=PD²-PC²，
∴PA²+PC²=PB²+PD²；

（2）猜想：PA²+PC²=PB²+PD²．
如图2，过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N，

∵在矩形ABCD中，AD∥BC，MN⊥AD，
∴MN⊥BC；
∵在Rt△AMP中，PA²=PM²+MA²，在Rt△BNP中，PB²=PN²+BN²，
在Rt△DMP中，PD²=DM²+PM²，在Rt△CNP中，PC²=PN²+NC²，
∴PA²+PC²=PM²+MA²+PN²+NC²，
PB²+PD²=PM²+DM²+BN²+PN²，
∵MN⊥AD，MN⊥NC，DC⊥BC，
∴四边形MNCD是矩形，
∴MD=NC，同理AM=BN，
∴PM²+MA²+PN²+NC²=PM²+DM²+BN²+PN²，即PA²+PC²=PB²+PD²．

（3）如图3，过点P作PQ⊥BC交AD，BC于O，Q，

∵在矩形ABCD中，AD∥BC，PQ⊥BC，
∴PQ⊥AD，
∵在Rt△AOP中，PA²=AO²+PO²，在Rt△PQB中，PB²=PQ²+QB²，
在Rt△POD中，PD²=DO²+PO²，在Rt△CQP中，PC²=PQ²+QC²，
∴PA²+PC²=PO²+OA²+PQ²+QC²，
PB²+PD²=PQ²+QB²+DO²+PO²，
∵PQ⊥AD，PQ⊥NC，DC⊥BC，
∴四边形OQCD是矩形，
∴OD=QC，同理AO=BQ，
∴PA²+PC²=PB²+PD²．

点评本题考查矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．

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科目：初中数学 来源： 题型：选择题

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A．

B．

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