分析 (1)连接AD.由圆周角定理可知∠ADB=90°,然后由含30°直角三角形的性质和勾股定理可求得BD的长,从而可求得BC的长;
(2)连接OD.由三角形的中位线定理可得到OD∥AC,然后依据平行线的性质定理得到∠ODE=∠CED,从而可证明∠EDO=90°,故此可证明DE是圆的切线.
解答 解:如图1所示:连接AD.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°.
又∵sin∠ABC=$\frac{1}{2}$,AB=4,
∴∠ABC=30°.
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=2.
∴Rt△ABD中,由勾股定理得:BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=2$\sqrt{3}$.
∵D是BC的中点,
∴BC=2DB=4$\sqrt{3}$.
(2)连接OD.
∵D是BC的中点,O是AB的中点,
∴OD∥AC.
∴∠EDO=∠CED.
∵DE⊥AC,
∴∠CED=90°.
∴∠EDO=90°.
∴DE是⊙O的切线.
点评 本题主要考查的是切线的判定、三角形中位线定理、勾股定理的应用、含30°直角三角形的性质,由三角形的中位线定理证得OD∥AC是解题的关键.
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A. | 2 | B. | 3 | C. | 4 | D. | 5 |
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A. | △ADC∽△ACB | B. | △BDC∽△BCA | C. | △ADC∽△CBD | D. | 无法判断 |
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