Question

19．如图，⊙O的直径AB=4，sin∠ABC=$\frac{1}{2}$，BC交⊙O于D，D是BC的中点．
（1）求BC的长；
（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O的切线．

Answer 1

分析 （1）连接AD．由圆周角定理可知∠ADB=90°，然后由含30°直角三角形的性质和勾股定理可求得BD的长，从而可求得BC的长；
（2）连接OD．由三角形的中位线定理可得到OD∥AC，然后依据平行线的性质定理得到∠ODE=∠CED，从而可证明∠EDO=90°，故此可证明DE是圆的切线．

解答 解：如图1所示：连接AD．

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
又∵sin∠ABC=$\frac{1}{2}$，AB=4，
∴∠ABC=30°．
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=2．
∴Rt△ABD中，由勾股定理得：BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
∵D是BC的中点，
∴BC=2DB=4$\sqrt{3}$．
（2）连接OD．

∵D是BC的中点，O是AB的中点，
∴OD∥AC．
∴∠EDO=∠CED．
∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°．
∴∠EDO=90°．
∴DE是⊙O的切线．

点评 本题主要考查的是切线的判定、三角形中位线定理、勾股定理的应用、含30°直角三角形的性质，由三角形的中位线定理证得OD∥AC是解题的关键．