Question

如图①，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，12），（8，6），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q从点（1，0）出发，以相同速度沿x轴正方向运动，当P点到D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）正方形边长，顶点C的坐标；
（2）当P点在边AB上运动时，△OPQ的面积S与运动时间t（秒）的函数图象是如图②所示的抛物线的一部分，求点P，Q运动速度；
（3）求在（2）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；
（4）如果点P、Q保持原速度速度不变，当点P沿A?B?C?D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，直接写出所有符合条件的t的值．

Answer 1

解：（1）10，（14，14）；

（2）由图象知，点P在AB上运动时间10，路程是10，所以点P，Q速度为1；

（3）作BE⊥x轴于E，BF⊥y轴于F，过P作PM⊥y轴于M，
由△APM∽△ABF易得OM=12-t，
S=（1+t）（12-t）=-t²+t+6，
所以t=9.5时S有最大值．
此时点P（7.6，6.3）；

（4）t=1，t=．
分析：（1）如图，在直角三角形BFA中，根据A、B的坐标可知：AF=6，BF=8，因此AB=10，即正方形的边长为10．易证△ABF≌△BCG，因此CG=BF=8，AF=BG=6，因此CH=14，FG=14，即C点的坐标为（14，14）；
（2）根据图象可知：当P在AB上运动时，总共用去的时间为10s，而AB=10，因此P的速度为1，Q与P的速度相同，因此Q的速度也是1；
（3）在三角形OPQ中，OQ=1+t，关键是求出OQ边上的高，可过P作PM⊥y轴于M，根据相似三角形APM和ABF可求出AM=t，因此OM=12-t，根据三角形的面积公式即可求出S，t的函数关系式．根据函数的性质即可求出S的最大值及对应的t的值；
（4）本题要分四种情况进行讨论：
①P在AB上，②P在BC上，③P在BC上，④P在AD上．
选两种情况进行说明：
①P在AB上，如图：在直角三角形APM中，根据∠APM的余弦值易得出PM=，如果OP=OQ，那么PM=OQ，即t=，解得t=1．
③P在CD上，如图：在直角三角形PCR中，易知：CR=CP=（t-20），因此PM=RN=14-（t-20）=30-t，根据①的解题思路可知：PM=OQ，即30-t=，解得t=．
其它两种情况求解方法同①③．
点评：本题主要考查了正方形的性质、坐标与图形性质、三角形相似、图形面积的求法、等腰三角形的性质以及二次函数的应用等知识点．