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19.如图,抛物线y=-$\frac{1}{2}$x2+bx+c与y轴交于点C,与x轴交于A、B两点(点A在原点左侧,点B在原点右侧),且∠ACB=90°,tan∠BAC=$\frac{1}{2}$.
①求抛物线的解析式;
②若抛物线顶点为P,求四边形APCB的面积.

分析 ①由y=-$\frac{1}{2}$x2+bx+c=c,可求得C(0,c),由tan∠BAC=$\frac{1}{2}$,可设A(-2c,0),B($\frac{1}{2}$c,0),把A(-2c,0),B($\frac{1}{2}$c,0)代入y=-$\frac{1}{2}$x2+bx+c=c求得b,c,即可求得求抛物线的解析式;
②解方程-$\frac{1}{2}$x2-$\frac{3}{10}$x+$\frac{1}{5}$=0可求得A,B点的坐标,由于四边形APCB的面积=S△AOP+S△POC+S△COB,根据三角形的面积公式即可求得结论.

解答 解:①令x=0则y=-$\frac{1}{2}$x2+bx+c=c,
∴C(0,c),
∵tan∠BAC=$\frac{1}{2}$,
∴A(-2c,0),
∠ACB=90°,
∴∠BCO=∠BAC,
∴OB=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{1}{2}$c,
∴B($\frac{1}{2}$c,0),
把A(-2c,0),B($\frac{1}{2}$c,0)代入y=-$\frac{1}{2}$x2+bx+c=c得,$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}(-2c)^{2}+b(-2c)+c=0}\\{-\frac{1}{2}(\frac{1}{2}c)^{2}+b•\frac{1}{2}c+c=0}\end{array}\right.$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{3}{10}}\\{c=\frac{1}{5}}\end{array}\right.$,
求抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x2-$\frac{3}{10}$x+$\frac{1}{5}$;

②y=-$\frac{1}{2}$x2-$\frac{3}{10}$x+$\frac{1}{5}$=-$\frac{1}{2}$(x+$\frac{3}{10}$)2+$\frac{49}{100}$,
∴P(-$\frac{3}{10}$,$\frac{49}{100}$),
令-$\frac{1}{2}$x2-$\frac{3}{10}$x+$\frac{1}{5}$=0,解得:x1=-1,x2=$\frac{2}{5}$,
∴A(-1,0),B($\frac{2}{5}$,0)
连接AP,PC,CB,PO,则四边形APCB的面积=S△AOP+S△POC+S△COB=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{49}{100}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{5}$×$\frac{3}{10}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{5}$×$\frac{1}{5}$=$\frac{9}{100}$.

点评 本题主要考查了待定系数法确定函数关系式,三角函数的定义,求二次函数的顶点坐标与x轴的交点坐标,割补法求四边形的面积,能够把四边形APCB分割成三个三角形△AOP.△POC,△COB是解题的关键.

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