Question

8．（1）一个多边形每个内角都相等，且每个外角等于一个内角的$\frac{2}{3}$，求这个多边形的边数；
（2）两个多边形边数之比为3：4，内角和之比为2：3，求这两个多边形的边数．

Answer 1

分析 （1）一个多边形的每个外角都等于其内角$\frac{2}{3}$，则内角和是外角和的1.5倍，根据多边形的外角和是360°，即可求得多边形的内角和的度数，依据多边形的内角和公式即可求解．
（2）设多边形的边数为3n，则另一个为4n，分别表示出两个多边形的内角和得到有关n的方程求解即可．

解答 解：（1）多边形的内角和是：360°×1.5=540°．
设多边形的边数是n，
则（n-2）•180=540，
解得：n=5．
故这个多边形的边数是5；

（2）∵两个多边形的边数之比为3：4，
∴设多边形的边数为3n，则另一个为4n，
∵内角和度数之比为2：3，
∴（3n-2）：（4n-2）=2：3，
解得：n=2，
∴3n=6，
4n=8．
故这两个多边形的边数分别为6和8．

点评 本题主要考查了多边形的内角和定理以及多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化．（2）中正确的设出边数并表示出其内角和是解决本题的关键．