Question

3．若8a≥1，则$\root{3}{a+\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}}}$+$\root{3}{a-\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}}}$的值是1．

Answer 1

分析 设t=$\sqrt{\frac{8a-1}{3}}$，则a=$\frac{3{t}^{2}+1}{8}$，分别化简a+$\frac{a+1}{3}$$\sqrt{\frac{8a-1}{3}}$得$\frac{1}{8}$（t+1）³，a-$\frac{a+1}{3}$$\sqrt{\frac{8a-1}{3}}$=-$\frac{1}{8}$（t+1）³，继而可得原式=$\frac{1}{2}$（t+1）-$\frac{1}{2}$（t-1）=1．

解答 解：设t=$\sqrt{\frac{8a-1}{3}}$，则a=$\frac{3{t}^{2}+1}{8}$，
∴a+$\frac{a+1}{3}$$\sqrt{\frac{8a-1}{3}}$=$\frac{3{t}^{2}+1}{8}$+$\frac{\frac{3{t}^{2}+1}{8}+1}{3}$•t
=$\frac{3{t}^{2}+1}{8}$+$\frac{1}{3}$•$\frac{3{t}^{2}+9}{8}$•t
=$\frac{3{t}^{2}+1}{8}$+$\frac{{t}^{2}+3}{8}$•t
=$\frac{3{t}^{2}+1+{t}^{3}+3t}{8}$
=$\frac{1}{8}$（t+1）³，
a-$\frac{a+1}{3}$$\sqrt{\frac{8a-1}{3}}$=$\frac{3{t}^{2}+1}{8}$-$\frac{\frac{3{t}^{2}+1}{8}+1}{3}$•t
=$\frac{3{t}^{2}+1}{8}$-$\frac{1}{3}$•$\frac{3{t}^{2}+9}{8}$•t
=$\frac{3{t}^{2}+1}{8}$-$\frac{{t}^{2}+3}{8}$•t
=$\frac{{t}^{3}+3t-3{t}^{2}-1}{8}$
=-$\frac{1}{8}$（t+1）³，
∴原式=$\frac{1}{2}$（t+1）-$\frac{1}{2}$（t-1）
=$\frac{1}{2}$（t+1-t+1）
=$\frac{1}{2}$×2
=1，
故答案为：1．

点评 本题主要考查整式的化简求值，利用换元的方法化简两个立方根内被开方数是解题的关键．