Question

已知α，β是方程x²-3x-5=0的两根，不解方程，求下列代数式的值：
（1）

1

α

+

1

β

；
（2）α²+β²；
（3）α-β．

Answer 1

分析：利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，
（1）所求式子通分并利用同分母分式的加法法则计算得到结果，将两根之和与两根之积的值代入计算即可求出值；
（2）所求式子利用完全平方公式变形，将两根之和与两根之积的值代入计算即可求出值；
（3）所求式子平方并利用完全平方公式变形，两根之和与两根之积的值代入计算，开方即可求出值．

解答：解：∵α，β是方程x²-3x-5=0的两根，
∴α+β=3，αβ=-5，
（1）

1

α

+

1

β

=

α+β

αβ

=

3

-5

=-

3

5

；
（2）α²+β²=（α+β）²-2αβ=9+10=19；
（3）∵（α-β）²=（α+β）²-4αβ=9+20=29，
∴α-β=±

29

．

点评：此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．