Question

【题目】如图，在中，点，点在轴正半轴上，以为一边作等腰直角，使得点在第一象限．

（1）求出所有符合题意的点的坐标；

（2）在内部存在一点，使得之和最小，请求出这个和的最小值．

Answer 1

【答案】（1），，；（2）这个和的最小值．

【解析】

（1）根据C（1，0），得到OC=1，解直角三角形得到AC=2，OA=，如图1，①当AC=AP，∠CAP=90°，过P1作P1B⊥y轴于B，②当AC=CP，∠ACP=90°，过P2作P2D⊥x轴于D，③当CP=AP，∠APC=90°，过P3作P3E⊥x轴于E，解直角三角形即可得到结论；

（2）任取△AOC内一点Q，连接AQ、BQ、CQ，将△ACQ绕点C顺时针旋转60°得到△A′CQ′，于是得到当A′Q′，OQ，QQ′这三条线段在同一直线时最短，即AQ+OQ+CQ的最小值=OA′，过A′作A′B⊥x轴于B，解直角三角形即可得到结论．

（1）如图1，

∵C（1，0），

∴OC=1，

∵在Rt△AOC中，∠A=30°，

∴AC=2，OA=，

如图1，①当AC=AP，∠CAP=90°，过P1作P1B⊥y轴于B，

则△ABP1≌△COA，

∴AB=OC=1，BP1=AO=，

∴OB=1+，

∴P1（，1+）；

②当AC=CP，∠ACP=90°，过P2作P2D⊥x轴于D，

同理可得：CD=OA=，P2D=1，

∴P2（1+，1）；

③当CP=AP，∠APC=90°，过P3作P3E⊥x轴于E，

则P3是AP2的中点，

∴OE=OD=，P3E=（OA+P2D）=，

∴P3（，）；

综上所述，P（，1+），（1+，1），（，）；

（2）如图2，任取△AOC内一点Q，连接AQ、OQ、CQ，

将△ACQ绕点C顺时针旋转60°得到△A′CQ′，

∴A′C=AC=2，CQ=CQ′，AQ=A′Q′，∠ACA′=∠QCQ′=60°，

∴△QCQ′是等边三角形，

∴CQ=QQ′，

∴AQ+OQ+CQ=A′Q′+OQ+QQ′，

∴当A′Q′，OQ，QQ′这三条线段在同一直线时最短，即AQ+OQ+CQ的最小值=OA′，

∵∠ACO=∠ACA′=60°，

∴∠A′CB=60°，

过A′作A′B⊥x轴于B，

∴BC=A′C=1，A′B=，

∴OB=2，

∴，

∴AQ、OQ、CQ之和的最小值是．