Question

如图，已知直线l经过点A（1，0），与双曲线y=（x＞0）交于点B（2，1），过点P（p，p-1）（p＞1）作x轴的平行线分别交双曲线y=（x＞0）和y=-（x＜0）于点M、N。

（1）求m的值和直线l的解析式；
（2）若点P在直线y=2上，求证：△PMB∽△PNA；
（3）是否存在实数p，使得S_△AMN=4S_△AMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）由点B（2，1）在y=上，有2=，即m=2， 设直线l的解析式为y=kx+b，由点A（1，0），点B（2，1）在y=kx+b上，得 ，解之，得k=1，b=-1， ∴所求直线l的解析式为y=x-1； （2）点P（p，p-1）在直线y=2上， ∴P在直线l上，是直线y=2和l的交点，见图（1） ∴根据条件得各点坐标为N（-1，2），M（1，2），P（3，2）， ∴NP=3-（-1）=4，MP=3-1=2，AP=， BP=， ∴在△PMB和△PNA中，∠MPB=∠NPA，， ∴△PMB∽△PNA； （3）S△AMN=·（1+1）·2=2，下面分情况讨论： ①当1＜p＜3时，延长MP交X轴于Q，见图（2） 设直线MP为y=kx+b，则有，解得， 则直线MP为； 当y=0时，x=，即点Q的坐标为（，0）， 则， 由2=4·有，解之，p=3（不合，舍去），p=； ②当p=3时，见图（1）S△AMP=·2·2=2S△AMN，不合题意； ③当p>3时，延长PM交X轴于Q，见图（3） 此时，S△AMP大于情况②当p=3时的三角形面积S△AMN，故不存在实数p，使得S△AMN=4S△AMP， 综上，当p=时，S△AMN=4S△AMP。