Question

在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A′B′C．
（1）如图（1），当AB∥CB′时，设A′B′与CB相交于点D．证明：△A′CD是等边三角形；
（2）如图（2），连接A′A、B′B，设△ACA′和△BCB′的面积分别为S_△ACA′和S_△BCB′，求证：S_△ACA′：S_△BCB′=1：3．

Answer 1

分析：（1）由∠ACB=90°，∠ABC=30°得∠CAB=90°-30°=60°，根据旋转的性质可得∠CA′B′=∠CAB=60°，∠3=∠ABC=30°，而AB∥CB′，根据平行线的性质得∠1=∠3=30°，再利用三角形外角性质得到∠2=∠1+∠ABC=60°，则在△A′CD中，∠CA′D=∠2=60°，即可得到结论；
（2）由∠ACB=90°，∠ABC=30°，tan∠ABC=tan30°=

AC

BC

=

3

3

，则BC=

3

AC，根据旋转的性质可得CA′=CA，CB′=CB，∠ACA′=∠BCB′=θ，然后根据相似三角形的判定得到△ACA′∽△BCB′，利用相似的性质得到S_△ACA′：S_△BCB′=AC²：BC²=AC²：（

3

AC）²，即可得到结论．

解答：证明：（1）如图1，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠CAB=90°-30°=60°，
∵△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A′B′C，
∴∠CA′B′=∠CAB=60°，∠3=∠ABC=30°，
又∵AB∥CB′，
∴∠1=∠3=30°，
∴∠2=∠1+∠ABC=60°，
在△A′CD中，∠CA′D=∠2=60°，
∴△A′CD是等边三角形；
（2）如图2，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴tan∠ABC=tan30°=

AC

BC

=

3

3

，
∴BC=

3

AC，
∵△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A′B′C，
∴CA′=CA，CB′=CB，∠ACA′=∠BCB′=θ，
∴△ACA′∽△BCB′，
∴S_△ACA′：S_△BCB′=AC²：BC²=AC²：（

3

AC）²=1：3．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等边三角形的判定方法以及相似三角形的判定与性质．