Question

【题目】如图，在边长为2的正方形ABCD中，点P是边AD上的动点（点P不与点A、点D重合），点Q是边CD上一点，连接PB、PQ，且∠PBC＝∠BPQ．

⑴ 若tan∠PBC=4，求AP的长；

⑵ 是否存在点P，使得点Q恰好是边CD的中点？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．⑶ 连接BQ，在△PBQ中是否存在度数不变的角？若存在，指出这个角，并求出它的度数；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】⑴ ⑵存在AP=⑶ 存在，∠PBQ=45°

【解析】(1)根据∠PBC+∠ABP=∠ABP+∠APB=90°得出∠APB=∠PBC ，再由tan∠PBC=tan∠APB=4= ；(2) 延长PQ交BC延长线于点E．设PD=x,由 ∠PBC=∠BPQ ，可得EB=EP ，再由△PDQ≌△ECQ 得到QP= ，在Rt△PDQ中根据勾股定理可得出结论;(3) 作BH⊥PQ于点,易证，△PAB≌△PHB，可得∠PBH=∠ABH，再由 Rt△BHQ≌Rt△BCQ，可得∠HBQ=∠HBC，进而得出结论即可.

(1)∵∠PBC+∠ABP=∠ABP+∠APB=90°, ∴∠APB=∠PBC=90°,在RT△ABP中，tan∠PBC=tan∠APB=4=;

⑵如图1，存在

延长PQ交BC延长线于点E．设PD=x．

∵∠PBC=∠BPQ，

∴EB=EP．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD∥BC，

∴∠DPQ=∠E，.

在△PDQ和△ECQ中，，

∴△PDQ≌△ECQ（AAS）.

∴PD=CE，PQ=QE． ∴BE=EP=， ∴QP=．

在Rt△PDQ中，∵PD2+QD2=PQ2，

∴，解得

∴AP=AD﹣PD=.

⑶存在，∠PBQ=45°．作于点．

易证，△PAB≌△PHB，

∴∠ABP=∠HBP， ∴∠PBH=∠ABH．

易证，Rt△BHQ≌Rt△BCQ，

∴∠HBQ=∠CBQ， ∴∠HBQ=∠HBC，

∴∠PBQ=∠PBH+∠HBQ=（∠ABH+∠HBC）=∠ABC=45°．