Question

16．（1）如图a，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，
①若∠ABC=40°，∠ACB=50°，则∠BOC的度数为135°；
②若∠A=76°，则∠BOC的度数为128°；
③你能找出∠A与∠BOC之间的数量关系吗？注明理由．
（2）如图b，点D是△ABC的两外角平分线BO，CO的交点，那么∠BOC与∠A有怎样的数量关系？注明理由．

Answer 1

分析 （1）①求出∠OBC=$\frac{1}{2}∠$ABC=20°，∠OCB=$\frac{1}{2}∠$ACB=25°，根据三角形内角和定理求出即可；
②根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=180°-∠A，根据角平分线定义得出∠OBC=$\frac{1}{2}∠$ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}∠$ACB，求出∠OBC+∠OCB=52°，根据三角形内角和定理求出即可；
③根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=180°-∠A，根据平分线定义求出∠OBC=$\frac{1}{2}∠$ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}∠$ACB，求出∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$×（∠ABC+∠ACB）=90°-$\frac{1}{2}∠$A，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）根据三角形外角性质求出∠ECB=∠A+∠ABC，∠DBC=∠A+∠ACB，求出∠ECB+∠DBC=180°+∠A，根据角平分线定义得出∠OBC=$\frac{1}{2}∠$DBC，∠OCB=$\frac{1}{2}∠$ECB，求出∠OBC+∠OCB=90°+$\frac{1}{2}∠$A，根据三角形内角和定理求出即可．

解答 解：（1）①∵∠ABC=40°，∠ACB=50°，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}∠$ABC=20°，∠OCB=$\frac{1}{2}∠$ACB=25°，
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-20°-25°=135°，
故答案为：135°；

②∵∠A=76°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=104°，
∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}∠$ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}∠$ACB，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$×（∠ABC+∠ACB）=52°
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-52°=128°，
故答案为：128°；

③∠BOC=90°+$\frac{1}{2}∠$A，
理由是：∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}∠$ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}∠$ACB，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$×（∠ABC+∠ACB）=90°-$\frac{1}{2}∠$A，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（90°-$\frac{1}{2}∠$A）=90°+$\frac{1}{2}∠$A；

（2）∠BOC=90°-$\frac{1}{2}∠$A，
理由是：∵∠ECB=∠A+∠ABC，∠DBC=∠A+∠ACB，
∴∠ECB+∠DBC=∠A+∠ABC+∠ACB=180°+∠A，
∵点D是△ABC的两外角平分线BO，CO的交点，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}∠$DBC，∠OCB=$\frac{1}{2}∠$ECB，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$×（∠DBC+∠ECB）=$\frac{1}{2}$（180°+∠A）=90°+$\frac{1}{2}∠$A，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（90°+$\frac{1}{2}∠$A）=90°-$\frac{1}{2}∠$A．

点评 本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，三角形外角性质的应用，能正确运用定理进行推理是解此题的关键，求解过程类似．