Question

19．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为Q（2，-1），且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）设P（x，y），PD的长度为l，求l与x的函数关系式，并求l的最大值；
（3）当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）设y=a（x-2）²-1，将C（0，3）代入求得a的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）令y=0，得x²-4x+3=0，求得方程方程的解，从而可得到点A、B的坐标，设直线AC的函数关系式为y=mx+n，将A（3，0），C（0，3）代入可求得m、n的值，故此可得到AC的解析式为y=-x+3上，设D（x，-x+3），P（x，x²-4x+3），然后依据l=D_y-P_y列出l与x的函数关系式，依据二次根式的性质可求得PD的最大值；
（3）①当点P为直角顶点时，点P与点B重合，②当点A为直角顶点时，可证明∠DAO=∠PAO，然后可证明点D与P关于x轴对称，设D（x，-x+3），P（x，x²-4x+3），依据关于x轴对称点的纵坐标互为相反数可列出关于x的方程，从而可求得x的值，故此可求得点P的坐标．

解答 解：（1）∵抛物线的顶点为Q（2，-1），
∴设y=a（x-2）²-1，
将C（0，3）代入上式得3=a（0-2）²-1，
解得：a=1，
∴y=（x-2）²-1，即y=x²-4x+3．

（2）令y=0，得x²-4x+3=0，解得x₁=1，x₂=3，
∵点A在点B的右边，
∴A （3，0），B（1，0）
设直线AC的函数关系式为y=mx+n，
将A（3，0），C（0，3）代入上式得，$\left\{{\begin{array}{l}{0=3m+n}\\{3=n}\end{array}}\right.$，解得：$\left\{{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=3}\end{array}}\right.$，
∴y=-x+3．
∵D在y=-x+3上，P在y=x²-4x+3上，且PD∥y轴，
∴D（x，-x+3），P（x，x²-4x+3），
∴l=PD=-x+3-（x²-4x+3）=-x²+3x=$-{（x-\frac{3}{2}）^2}+\frac{9}{4}$
∴当$x=\frac{3}{2}$时，l取得最大值为$\frac{9}{4}$．

（3）分两种情况：
①当点P为直角顶点时，如图1，点P与点B重合，

由（2）可知B（1，0），
∴P（1，0）．
②当点A为直角顶点时，如图2，

∵OA=OC，∠AOC=90°，
∴∠OAD=45°，
当∠DAP=90°时，∠OAP=45°，
∴AO平分∠DAP，
又∵PD∥y轴，
∴PD⊥AO，
∴P与D关于x轴对称，
∵D（x，-x+3），P（x，x²-4x+3），
∴（-x+3）+（x²-4x+3）=0，
整理得x²-5x+6=0，
∴x₁=2，x₂=3（舍去），
当x=2时，y=x²-4x+3=2²-4×2+3=-1，
∴P的坐标为P（2，-1）．
∴满足条件的P点坐标为P（1，0），P（2，-1）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质、依据l=D_y-P_y列出l与x的函数关系式是解答问题（2）的关键，证得点D与P关于x轴对称，利用关于x轴对称点的特点列出关于x的方程是解答问题（3）的关键．