【题目】如图,△ABC中,AB=AC,点D为BC上一点,且AD=DC,过A,B,D三点作⊙O,AE是⊙O的直径,连结DE.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)若sinC=,AC=6,求⊙O的直径.
【答案】(1)详见解析;(2)⊙O的直径为.
【解析】
试题分析:(1)根据等腰三角形的性质,由AB=AC,AD=DC得∠C=∠B,∠1=∠C,则∠1=∠B,根据圆周角定理得∠E=∠B,∠ADE=90°,所以∠1+∠EAD=90°,然后根据切线的判定定理即可得到AC是⊙O的切线;
(2)过点D作DF⊥AC于点F,如图,根据等腰三角形的性质得CF=AC=3,在Rt△CDF中,利用正弦定义得sinC==,则设DF=4x,DC=5x,利用勾股定理得CF=3x,所以3x=3,解得x=1,于是得到DC=AD=5,然后证明△ADE∽△DFC,再利用相似比可计算AE即可.
试题解析:(1)∵AB=AC,AD=DC,
∴∠C=∠B,∠1=∠C,
∴∠1=∠B,
又∵∠E=∠B,
∴∠1=∠E,
∵AE是⊙O的直径,
∴∠ADE=90°,
∴∠E+∠EAD=90°,
∴∠1+∠EAD=90°,即∠EAC=90°,
∴AE⊥AC,
∴AC是⊙O的切线;
(2)过点D作DF⊥AC于点F,如图,
∵DA=DC,
∴CF=AC=3,
在Rt△CDF中,∵sinC==,
设DF=4x,DC=5x,
∴CF==3x,
∴3x=3,解得x=1,
∴DC=5,
∴AD=5,
∵∠ADE=∠DFC=90°,∠E=∠C,
∴△ADE∽△DFC,
∴,即,解得AE=,
即⊙O的直径为.
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【题目】在△ABC中,∠ACB=90°经过点B的直线l(l不与直线AB重合)与直线BC的夹角等于∠ABC,分别过点C、A做直线l的垂线,垂足分别为点D、E.
(1)问题发现:
①若∠ABC=30°,如图①,则= ;
②∠ABC=45°,如图②,则= ;
(2)拓展探究:
当0°<∠ABC<90°,的值有无变化?请仅就图③的情形给出证明.
(3)问题解决:
若直线CE、AB交于点F,=,CD=4,请直接写出线段BD的长.
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【题目】“六一”期间,某商店将单价标为130元的书包按8折出售可获利30%,该书包每个的进价是( )
A. 65元 B. 80元 C. 100元 D. 104元
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【题目】如图,P是正方形ABCD对角线AC上一点,点E在BC上,且PE=PB.
(1)求证:PE=PD;
(2)连接DE,试判断∠PED的度数,并证明你的结论.
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【题目】自从“新冠病毒”爆发以来,胖胖同学每周且每天3次自测体温,结果统计如下表:则这些体温的众数是_____℃.
体温(℃) | 36.1 | 36.2 | 36.3 | 36.4 | 36.5 | 36.6 | 36.7 |
次数 | 2 | 3 | 4 | 6 | 3 | 1 | 2 |
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【题目】如图,若BC=EC,∠BCE=∠ACD,则添加不能使△ABC≌△DBC的条件是( )
A.AB=DE B.∠B=∠E C.AC=DC D.∠A=∠D
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